함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 그 구간에서 최대값과 최소값을 갖습니다.

이성질로부터 롤의 정리가 성립합니다.


롤의 정리

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린 구간(a,b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면 f'(c)=0 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.


롤의 정리 증명

ⓐ y=f(x)가 상수함수인 경우

열린 구간 (a,b)에 속하는 모든 점 c에서 f'(c)=0 입니다.

ⓑ y=f(x)가 상수함수가 아닌 경우

f(a)=f(b)이므로 양 끝점을 제외한 점 x=c에서 최대값 또는 최소값을 가집니다.


⑴x=c 에서 최대값 f(c)를 가질 때

f(c+Δx)-f(c)≤0 이므로

이 성립합니다.


한편, 함수 f(x)는 x=c 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

따라서 


⑵ x=c 에서 최소값 f(c)를 가질 때

⑴와 같은 방법으로 f'(c)=0. □



2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

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우극한과 좌극한


일반적으로

x가 a보다 큰 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+0


또,

x가 a보다 작은 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+-0


특히,

x→0+0은 x→+0,

x→0-0은 x→-0

으로 나타냅니다.


함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 크면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

α를 x=a에서의 함수 f(x)의 우극한 이라고 하며


기호로는


라고 나타냅니다.


또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 작으면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 β에 한없이 가까워지면

β를 x=a에서의 함수 f(x)의 좌극한 이라고 하며


기호로는


라고 나타냅니다.


x→a일 때, 함수 f(x)의 극한값이 α라는 것은

x=a에서의 우극한과 좌극한이 존재하고

그 값이 모두 α와 같음을 뜻합니다.


즉,

따라서

우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면 

는 존재하지 않습니다.


함수의 극한에 관한 성질



함수의 극한에 대한 성질은 x→a+0, x→a-0, x→∞, x→-∞  일 때에도 성립



함수의 극한의 대소 관계



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