정적분을 통해서 여러가지를 구할 수 있습니다.

그 두번째 시간! 바로 그래프의 부피입니다.

아래의 그림과 같이 어떤 입체도형이 주어져 있고 한 직선을 x축으로 정하였을 때,

 x좌표가 a, b인 두 점을 지나 x축에 수직인 두 평면 사이에 있는 부분의 부피를 구해보도록 하겠습니다.

x축 위의 구간 [a,b]를 n등분하여 양 끝점과 분점을 차례로

라 하고, 소구간의 길이를 Δx라고 합시다.

또, 좌표가 인 점을 지나 x축에 수직인 평면으로 입체를 잘랐을 때,

생기는 단면의 넓이를 라고 하면, 밑면의 넓이가 이고 높이가 Δx인 k번째 기둥의 부피는 이므로 n개의 기둥의 부피의 합

 

따라서 구하는 입체의 부피 V는 구분구적법과 정정분의 정의에 의하여

함수 f(x)가 구간[a,b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)를 x축의 둘레로 회전시켜서 생기는 회전체의 부피V를 구해보도록 하겠습니다.

위의 그림과 같이 x좌표가 x인 점을 지나 x축에 수직인 평면으로 이 회전체를 자르면, 그 단면은 반지름의 길이가 |y|인 원이 됩니다.

그 단면의 넓이를 S(x)라고 하면

따라서, 구하는 회전체의 부피

마찬가지로 구간 [c,d]에서 곡선 x=g(y)를 y축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 같은 방법으로 구하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.



2017/05/11 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 활용-넓이편

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함수 y=f(t)가 구간 [a,b]에서 연속이고 f(t)≥0 이라고 하면

아래 그림과 같이 구간 [a,b]에 속하는 임의의 x에 대하여 a에서 x까지의 곡선 y=f(t)와 t축 사이의 넓이를 S(x)라 하면

이 때, x의 증분 Δx(Δx>0)에 대하여 S(x)의 증분을 ΔS라고 하면

ΔS=S(x+Δx)-S(x).

한편,

구간 [x,x+Δx]에서 함수 f(t)는 연속이므로 최대값과 최소값을 각각 M,m이라고 하면

mΔx≤ΔS≤MΔx

여기서 Δx→0 이면

함수 f(t)는 [a,b]에서 연속함수이므로

Δx→0 이면 m→f(x), M→f(x)

적분과 미분의 관계에서 S'(x)=f(x)이므로 S(x)는 f(x)의 부정적분입니다.

여기서 f(x)의 또 다른 부정적분의 하나를 F(x)라고 하면 아래와 같은 식이 성립합니다

(C는 적분상수)……ⓐ

S(x)의 정의에 의하여 x=a이면 S(a)=0이므로 ⓐ에서

이것을 ⓐ에 대입하면

이 식에 x=b(a<b)를 대입하고 적분변수 t를 x로 바꾸면

……ⓑ

이 것을 정적분의 기본 정리라고 합니다.

이때 ⓑ의 우변 F(b)-F(a)를 기호로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

지금까지는 a<b 일 때

정적분 를 정의하였으나,

a=b, a>b일 때에는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

위의 정의에 의하여 a>b이고 F'(x)=f(x)일 때,

따라서 정적분의 기본정리는 아래끝, 위끝의 대소에 관계없이 항상 성립한다.■



2017/05/08 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 정의

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구간 [a,b]를 n등분하여 양 끝점과 각 분점을 차례로

이라 하고, 각 소구간의 길이를 Δx라고 하면 다음과 같습니다.

이 때, 위의 그림과 같이 각 소구간의 오른쪽 끝에서의 함수값이 세로의 길이인 직사각형의 넒이의 합을이라고 하면

여기서,

n→∞ 이면 은 구하는 도형의 넓이 S에 한없이 가까워집니다.

따라서

일반적으로 함수 y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이면

가 항상 존재합니다.

이 때, 이 극한값을 함수 f(x)의 a에서 b까지의 정적분이라 하고, 기호로는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그리고 위의 적분값을 구하는 것을 함수 f(x)를 a에서 b까지 적분한다고 하고, a를 이 정적분의 아래끝, b를 위끝이라고 합니다.

이때,

y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이고 f(x)≥0 이면

정적분은 곡선 y=f(x), 직선 x=a, x=b 그리고 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 나타냅니다.

그리고

아래 그림과 같이 y=f(x)가 구간[a,b]에서 연속이고, 양의 값, 음의 값 모두 가지면

정적분은 x축 위쪽의 넓이 S₁에서 x축 아래쪽의 넓이 S₂ 를 뺀 값을 나타냅니다.


2017/05/05 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분

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미분을 역으로 생각하면 여러가지 함수의 부정적분에 대해서 알아볼 수 있습니다.

우선

(n은 실수)의 미분법에서 n≠-1 일 때,

이므로

 (단, C는 적분상수)

또, 로그함수의 미분법에서

이므로

삼각함수의 미분법에서

지수함수의 미분법에서

를 역으로 생각해보면 아래와 같은 여러가지 함수의 부정적분을 알 수 있습니다.



2017/05/05 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분

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어떤 함수 F(x) 의 도함수가 f(x) 일 때,

F'(x)=f(x)

일 때,

F(x)를 f(x)의 부정적분 또는 원시함수라 하고 기호로는

와 같이 나타낼 수 있습니다. 이때, 함수 f(x) 를 피적분함수라고 합니다.

함수 f(x)의 부정적분을 구하는 것을 f(x)를 적분한다고 하며, 그 계산 방법을 적분법이라고 합니다.

일반적으로 함수 F(x), G(x)가 모두 함수 f(x)의 부정적분이면

이므로 다음이 성립한다.

그런데 도함수가 0인 함수는 상수함수이므로 상수를 C라고 하면

따라서 함수 f(x)의 부정적분 중의 하나를 함수 F(x)라고 하면 함수 f(x)의 임의의 부정적분은

F(x)+C (C는 상수)

인 꼴로 나타낼 수 있습니다.

이때, 상수 C를 적분상수라고 합니다.


다시 말해

F'(x)=f(x)일 때,

(단, C는 적분상수)


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함수 f(x), g(x)의 부정적분을 각각 F(x), g(x)라고 하면

이므로

(단, k는 상수)

따라서 아래와 같은 식이 성립합니다.


2017/05/05 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분


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에서 알수 있듯이


함수 y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이면 이 구간에서 f(x)는 반드시 최대값과 최소값을 갖습니다.

구간 [a,b] 에서 함수 y=f(x)의 최대값과 최소값을 구하기 위해서는

이 구간에서 함수 y=f(x)의 극대값과 극소값 및 양 끝점의 함수값 f(a), f(b) 을 비교하여

그 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으면 됩니다.

case1) 양끝점이 모두 최솟값, 최댓값인 경우

case2) 극솟값이 최솟값인 경우

case3) 극대값과 극솟값이 최솟값, 최댓값인 경우


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곡선 y=f(x) 가 어떤 구간에서

f''(x)>0 이면 x가 증가할 때 f'(x)는 증가하므로 접선의 기울기는 증가합니다.

이 때,

곡선 y=f(x) 는 이 구간에서 아래로 볼록 또는 위로 오목이라고 합니다.

또,

곡선 y=f(x) 가 어떤 구간에서

f''(x)<0 이면 x가 증가할 때 f'(x)는 감소하므로 접선의 기울기는 감소합니다.

이 때,

곡선 y=f(x) 는 이 구간에서 위로 볼록 또는 아래로 오목이라고 합니다.

곡선 y=f(x) 위에 있는 한 점의 좌우에서 곡선이 오목에서 볼록으로, 또는 볼록에서 오목으로 바뀔 때, 이 점을 변곡점이라고 합니다.

다시말해 f''(x)=0 이고, x=a 의 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀌면 점(a,f(a))는 함수 y=f(x)의 변곡점입니다.

아래 그림에서 점(a,f(a))가 함수 y=f(x)의 변곡점입니다.



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함수 y=f(x)가 x=a 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 변하면 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, 그때의 함수값 f(a)를 극대값이라고 합니다.

반대로

함수 y=f(x)가 x=b 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 변하면 f(x)는 x=b에서 극소라 하고, 그때의 함수값 f(b)를 극소값이라고 합니다.

극대값과 극소값을 통틀어 극값이라고 합니다.

함수f(x)가 x=a에서 미분가능하고, f(a)가 극대값이라고 하면 충분히 작은 |h|에 대하여 아래와 같은 식이 성립합니다.

h>0일 때,

h<0일 때,

그런데 함수 f(x)는 x=a 에서 미분가능하므로

마찬가지 방법으로 함수 f(x)가 x=a에서 극소인 경우에도 f'(a)=0 임을 보일 수 있습니다.

이 때,

미분가능한 함수 f(x) 에 대하여 f'(a)=0 이라고해서 f(x)가 x=a에서 반드시 극값을 가지는 것은 아닙니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=x³를 들 수 있습니다.

 f(x)=x³ 에서 f'(0)=0 이지만

x≠0 일 때

f'(x)=3x²>0.

즉, x=0 의 좌우에서 f'(x)>0 이므로 항상 증가하는 상태에 있습니다.

또한

함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지더라도 f'(a)=0 이 성립하지 않을 수도 있습니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=|x|를 들 수 있습니다.

 f(x)=|x| 는 x=0 일 때 극소이지만 f'(0)이 존재하지 않습니다.

미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 극값의 정의에 의하여 x=a의 좌우에서 함수의 증가상태와 감소상태가 바뀌므로 도함수 f'(x)의 부호가 바뀝니다. 이 때, f'(x)의 부호의 변화를 그래프로 알아보면 아래와 같습니다.

미분가능한 함수 f(x)에서 f'(a)=0 일 때, x=a 의 좌우에서

ⓐ f'(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이고 극대값을 f(a)를 가집니다.

ⓑ f'(x)의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이고 극소값을 f(a)를 가집니다.


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함수 f(x)가 어떤 구간의 임의의 x의 값 x₁, x₂에 대하여

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) < f(x₂) 이면

f(x)는 그 구간에서 증가한다고 합니다.

한편,

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) > f(x₂) 이면

f(x)는 그 구간에서 감소한다고 합니다.


함수 y=f(x)에서 충분히 작은 임의의 양수 h에 대하여

f(a-h) < f(a) < f(a+h) 일 때,

f(x) 는 x=a 에서 증가상태에 있다고 하고,

f(a-h) > f(a) > f(a+h) 일 때,

f(x) 는 x=a 에서 감소상태에 있다고 합니다.

다음은,

함수의 증가, 감소와 미분계수의 부호의 관계에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

함수 f(x) 의 x=a 에서의 미분계수가 양수이면 다음이 성립합니다.

여기서,

|h|가 충분히 작으면 아래의 식이 성립합니다.

이때,

h>0 이면 f(a+h) > f(a)

h<0 이면 f(a+h) < f(a)

이므로 함수 f(x) 는 x=a 에서 증가상태에 있습니다.

같은 방법으로

f'(a)<0 이면 f(x) 는 x=a 에서 감소상태에 있음을 보일 수 있습니다.

함수 f(x) 의 도함수 f'(x) 가 어떤 구간에서 f'(x)>0 이면 f(x)는 이 구간의 모든 점에서 증가상태에 있으므로 f(x)는 그 구간에서 증가합니다.

반대로 

함수 f(x) 의 도함수 f'(x) 가 어떤 구간에서 f'(x)<0 이면 f(x)는 이 구간의 모든 점에서 감소상태에 있으므로 f(x)는 그 구간에서 감소합니다.



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