두 함수 y=f(y), u=g(x) 가 미분가능할 때,

합성함수 y=f(g(x))의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

x의 증분 Δx 에 대한 u의 증분을 Δu, u의 증분 Δu 에 대한 y의 증분을 Δy 라고 하면

그런데

두 함수 y=f(u), u=g(x) 는 미분가능하므로

여기서,

u=g(x) 는 연속이므로 Δx→0 일 때, Δu→0 입니다.

따라서

다음은 

미분가능한 함수 y=f(x) 에 대하여

 (n은 자연수)

가 성립함을 수학적 귀납법을 통해 증명하도록 하겠습니다.

ⓐ n=1 일 때

따라서 위에 주어진 등식이 성립합니다.

ⓑ 만약 n=k 일 때 성립한다고 가정한다면

따라서 n=k+1 일 때에도 위에 주어진 등식이 성립합니다.

따라서 ⓐ, ⓑ 를 통해  

 (n은 자연수)

가 성림됨을 알 수 있습니다.□

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삼각함수의 극한



(증명)



일 때


위의 그림과 같이

중심이 O인 단위원 위에 ∠AOB=x 인 두 점 A, B를 잡습니다.


점 A에서 원 O 에 그은 접선과 반직선 OB와의 교점을 T라고 하면

△OAB, 부채꼴OAB, △OAT 의 넓이 사이에  


△OAB 의 넓이 < 부채꼴OAB 의 넓이 < △OAT 의 넓이


인 관계가 성립하므로 다음 부등식을 얻을 수 있습니다.



이때, sinx > 0 이므로 

의 각 변을 sinx 로 나누면


여기서

 

이므로

함수의 극한의 대소 관계에 의하여




일 때

x<0이므로 x=-t라고 하면

 x→-0일 때, t→+0 이므로


따라서 ⓐ, ⓑ에 의하여 

입니다.■



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