함수 

(n은 양의 정수) 

의 도함수를 구해보면

특히,

상수함수 f(x)=c (c는 상수)의 도함수는

입니다.


미분가능한 두 함수 f(x), g(x) 의 실수배, 합, 차로

이루어진 함수의 도함수를 구해보면 다음과 같습니다.

(단, c는 상수)

ⓑ와 같은 방법으로


미분가능한 두 함수 f(x), g(x)의 곱으로

이뤄진 함수의 도함수도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

미분가능한 함수 g(x) 는 연속함수이기때문에

미분법의 기본 공식


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일반적으로 함수 y=f(x) 가 정의역 X 에서 미분가능하면

정의역에 속하는 모든 x 에 대하여

미분계수 f'(x) 를 대응시키는 새로운 함수

f':x → f'(x)

즉,

가 존재합니다.

이 때,

함수 f'(x) 를 f(x) 의 도함수라 하고,

이것을 기호로

라고 나타냅니다.

함수 y=f(x) 에서 그 도함수 f'(x) 를 구하는 것을

함수 y=f(x) 를 x 에 대하여 미분한다라고 하고

그 계산법을 미분법이라고 합니다.

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우극한과 좌극한


일반적으로

x가 a보다 큰 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+0


또,

x가 a보다 작은 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+-0


특히,

x→0+0은 x→+0,

x→0-0은 x→-0

으로 나타냅니다.


함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 크면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

α를 x=a에서의 함수 f(x)의 우극한 이라고 하며


기호로는


라고 나타냅니다.


또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 작으면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 β에 한없이 가까워지면

β를 x=a에서의 함수 f(x)의 좌극한 이라고 하며


기호로는


라고 나타냅니다.


x→a일 때, 함수 f(x)의 극한값이 α라는 것은

x=a에서의 우극한과 좌극한이 존재하고

그 값이 모두 α와 같음을 뜻합니다.


즉,

따라서

우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면 

는 존재하지 않습니다.


함수의 극한에 관한 성질



함수의 극한에 대한 성질은 x→a+0, x→a-0, x→∞, x→-∞  일 때에도 성립



함수의 극한의 대소 관계



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함수

에서 x=1 이면 분모가 0이 되므로

x=1의 함숫값 f(1)은 정의되지 않습니다.


하지만 x≠1이면


이므로


x가 1이 아닌 값을 가지면서 1에 한없이 가까워지면

함숫값 f(x)는 2에 한없이 가까워집니다.



일반적으로 함수 f(x)에서

x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고,

α를 x→a 일 때의 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라고 하며,


기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.

특히

 상수함수 f(x)=c(c는 상수)는

모든 x의 값에 대하여 함수값이 항상 c이므로

a의 값에 관계없이

가 성립합니다.

함수

에서 x의 값이 한없이 커지면

f(x)의 값이 0에 한없이 가까워지고

x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때에도

f(x)의 값은 0에 한없이 가까워집니다.


일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 한없이 커질 때 

함수값 f(x)가 일정한 값 α에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고


기호로는

또는

x→∞ 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.



또, x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가 일정한 값 β에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 β에 수렴한다고 하고


기호로는

또는

x→-∞ 일 때, f(x)→β

와 같이 나타냅니다.



함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

f(x)의 값은 한없이 커집니다.

마찬가지로, 함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

g(x)의 값은 음수이고 그 절댓값은 한없이 커집니다.


일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 한없이 커지면

f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 말하고 


기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→∞

와 같이 나타냅니다.

또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 음수이고 그 절대값이 한없이 커지면

f(x)는 음의 무한대로 발산한다고 말하고 


기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→-∞

와 같이 나타냅니다.


일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이

한없이 커지거나, 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하면 


기호로

와 같이 나타냅니다.

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