함수 y=f(x)가 x=a 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 변하면 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, 그때의 함수값 f(a)를 극대값이라고 합니다.

반대로

함수 y=f(x)가 x=b 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 변하면 f(x)는 x=b에서 극소라 하고, 그때의 함수값 f(b)를 극소값이라고 합니다.

극대값과 극소값을 통틀어 극값이라고 합니다.

함수f(x)가 x=a에서 미분가능하고, f(a)가 극대값이라고 하면 충분히 작은 |h|에 대하여 아래와 같은 식이 성립합니다.

h>0일 때,

h<0일 때,

그런데 함수 f(x)는 x=a 에서 미분가능하므로

마찬가지 방법으로 함수 f(x)가 x=a에서 극소인 경우에도 f'(a)=0 임을 보일 수 있습니다.

이 때,

미분가능한 함수 f(x) 에 대하여 f'(a)=0 이라고해서 f(x)가 x=a에서 반드시 극값을 가지는 것은 아닙니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=x³를 들 수 있습니다.

 f(x)=x³ 에서 f'(0)=0 이지만

x≠0 일 때

f'(x)=3x²>0.

즉, x=0 의 좌우에서 f'(x)>0 이므로 항상 증가하는 상태에 있습니다.

또한

함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지더라도 f'(a)=0 이 성립하지 않을 수도 있습니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=|x|를 들 수 있습니다.

 f(x)=|x| 는 x=0 일 때 극소이지만 f'(0)이 존재하지 않습니다.

미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 극값의 정의에 의하여 x=a의 좌우에서 함수의 증가상태와 감소상태가 바뀌므로 도함수 f'(x)의 부호가 바뀝니다. 이 때, f'(x)의 부호의 변화를 그래프로 알아보면 아래와 같습니다.

미분가능한 함수 f(x)에서 f'(a)=0 일 때, x=a 의 좌우에서

ⓐ f'(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이고 극대값을 f(a)를 가집니다.

ⓑ f'(x)의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이고 극소값을 f(a)를 가집니다.


2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/29 - [Cyong's Mathmatics] - 평균값의 정리

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

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2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

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함수 f(x)가 어떤 구간의 임의의 x의 값 x₁, x₂에 대하여

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) < f(x₂) 이면

f(x)는 그 구간에서 증가한다고 합니다.

한편,

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) > f(x₂) 이면

f(x)는 그 구간에서 감소한다고 합니다.


함수 y=f(x)에서 충분히 작은 임의의 양수 h에 대하여

f(a-h) < f(a) < f(a+h) 일 때,

f(x) 는 x=a 에서 증가상태에 있다고 하고,

f(a-h) > f(a) > f(a+h) 일 때,

f(x) 는 x=a 에서 감소상태에 있다고 합니다.

다음은,

함수의 증가, 감소와 미분계수의 부호의 관계에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

함수 f(x) 의 x=a 에서의 미분계수가 양수이면 다음이 성립합니다.

여기서,

|h|가 충분히 작으면 아래의 식이 성립합니다.

이때,

h>0 이면 f(a+h) > f(a)

h<0 이면 f(a+h) < f(a)

이므로 함수 f(x) 는 x=a 에서 증가상태에 있습니다.

같은 방법으로

f'(a)<0 이면 f(x) 는 x=a 에서 감소상태에 있음을 보일 수 있습니다.

함수 f(x) 의 도함수 f'(x) 가 어떤 구간에서 f'(x)>0 이면 f(x)는 이 구간의 모든 점에서 증가상태에 있으므로 f(x)는 그 구간에서 증가합니다.

반대로 

함수 f(x) 의 도함수 f'(x) 가 어떤 구간에서 f'(x)<0 이면 f(x)는 이 구간의 모든 점에서 감소상태에 있으므로 f(x)는 그 구간에서 감소합니다.



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롤의 정리를 일반화한 것이 평균값의 정리입니다.

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리


오늘은 평균값 정리에 대해서 알아보도록 하겠습니다.


함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때

가 되는 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재하는데, 이를 평균값 정리라고 합니다.

두 점 (a,f(a)), (b,f(b))를 지나는 직선의 방정식을 y=g(x)라고 하면

이 때, 함수 h(x)=f(x)-g(x) 라고 하면 h(x)는 열린 구간 (a,b) 에서 미분가능하며

h(a)=h(b)=0

입니다.

따라서 롤의 정리에 의하여

인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

즉,

인 c가 열린 구간 (a,b) 안에 적어도 하나 존재합니다.

평균값의 정리의 뜻을 함수의 그래프를 통해서 살펴보면,

평균값의 정리에서

는 곡선 y=f(x) 위의 두 점 A(a,f(a)), B(b,f(b)) 를 지나는 직선의 기울기를 나타냅니다.

따라서 평균값의 정리는 열린 구간 (a,b)에서 직선AB와 평행한 곡선 y=f(x) 의 접선이 적어도 하나 존재함을 의미합니다.



2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

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  1. 2017.08.27 19:14

    비밀댓글입니다

    • Cyong S.. 2017.08.27 19:26 신고

      평균값의 정리를 다시 짚어보실 필요가 있을 거 같습니다^^
      예를들어 f(a)=f(b)=3일 경우에 3보다 큰 f(c)가 존재할 수 있습니다만...물어보시는 게 정확히 뭔지 잘 모르겠네요ㅠ

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 그 구간에서 최대값과 최소값을 갖습니다.

이성질로부터 롤의 정리가 성립합니다.


롤의 정리

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린 구간(a,b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면 f'(c)=0 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.


롤의 정리 증명

ⓐ y=f(x)가 상수함수인 경우

열린 구간 (a,b)에 속하는 모든 점 c에서 f'(c)=0 입니다.

ⓑ y=f(x)가 상수함수가 아닌 경우

f(a)=f(b)이므로 양 끝점을 제외한 점 x=c에서 최대값 또는 최소값을 가집니다.


⑴x=c 에서 최대값 f(c)를 가질 때

f(c+Δx)-f(c)≤0 이므로

이 성립합니다.


한편, 함수 f(x)는 x=c 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

따라서 


⑵ x=c 에서 최소값 f(c)를 가질 때

⑴와 같은 방법으로 f'(c)=0. □



2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

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