D.M.숑스토리

함수 y=f(x)가 x=a 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 변하면 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, 그때의 함수값 f(a)를 극대값이라고 합니다.

반대로

함수 y=f(x)가 x=b 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 변하면 f(x)는 x=b에서 극소라 하고, 그때의 함수값 f(b)를 극소값이라고 합니다.

극대값과 극소값을 통틀어 극값이라고 합니다.

함수f(x)가 x=a에서 미분가능하고, f(a)가 극대값이라고 하면 충분히 작은 |h|에 대하여 아래와 같은 식이 성립합니다.

h>0일 때,

h<0일 때,

그런데 함수 f(x)는 x=a 에서 미분가능하므로

마찬가지 방법으로 함수 f(x)가 x=a에서 극소인 경우에도 f'(a)=0 임을 보일 수 있습니다.

이 때,

미분가능한 함수 f(x) 에 대하여 f'(a)=0 이라고해서 f(x)가 x=a에서 반드시 극값을 가지는 것은 아닙니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=x³를 들 수 있습니다.

 f(x)=x³ 에서 f'(0)=0 이지만

x≠0 일 때

f'(x)=3x²>0.

즉, x=0 의 좌우에서 f'(x)>0 이므로 항상 증가하는 상태에 있습니다.

또한

함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지더라도 f'(a)=0 이 성립하지 않을 수도 있습니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=|x|를 들 수 있습니다.

 f(x)=|x| 는 x=0 일 때 극소이지만 f'(0)이 존재하지 않습니다.

미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 극값의 정의에 의하여 x=a의 좌우에서 함수의 증가상태와 감소상태가 바뀌므로 도함수 f'(x)의 부호가 바뀝니다. 이 때, f'(x)의 부호의 변화를 그래프로 알아보면 아래와 같습니다.

미분가능한 함수 f(x)에서 f'(a)=0 일 때, x=a 의 좌우에서

ⓐ f'(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이고 극대값을 f(a)를 가집니다.

ⓑ f'(x)의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이고 극소값을 f(a)를 가집니다.

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/29 - [Cyong's Mathmatics] - 평균값의 정리

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

2017/04/13 - [Cyong's Mathmatics] - 미분가능성과 연속성

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

함수 f(x)가 어떤 구간의 임의의 x의 값 x₁, x₂에 대하여

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) < f(x₂) 이면

f(x)는 그 구간에서 증가한다고 합니다.

한편,

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) > f(x₂) 이면

롤의 정리를 일반화한 것이 평균값의 정리입니다.

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

오늘은 평균값 정리에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때

가 되는 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재하는데, 이를 평균값 정리라고 합니다.

두 점 (a,f(a)), (b,f(b))를 지나는 직선의 방정식을 y=g(x)라고 하면

이 때, 함수 h(x)=f(x)-g(x) 라고 하면 h(x)는 열린 구간 (a,b) 에서 미분가능하며

h(a)=h(b)=0

입니다.

따라서 롤의 정리에 의하여

인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

즉,

인 c가 열린 구간 (a,b) 안에 적어도 하나 존재합니다.

평균값의 정리의 뜻을 함수의 그래프를 통해서 살펴보면,

평균값의 정리에서

는 곡선 y=f(x) 위의 두 점 A(a,f(a)), B(b,f(b)) 를 지나는 직선의 기울기를 나타냅니다.

따라서 평균값의 정리는 열린 구간 (a,b)에서 직선AB와 평행한 곡선 y=f(x) 의 접선이 적어도 하나 존재함을 의미합니다.

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

2017/04/27 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 방정식

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/10 - [Cyong's Mathmatics] - 최대값, 최소값, 중간값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 그 구간에서 최대값과 최소값을 갖습니다.

이성질로부터 롤의 정리가 성립합니다.

롤의 정리

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린 구간(a,b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면 f'(c)=0 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

롤의 정리 증명

ⓐ y=f(x)가 상수함수인 경우

열린 구간 (a,b)에 속하는 모든 점 c에서 f'(c)=0 입니다.

ⓑ y=f(x)가 상수함수가 아닌 경우

f(a)=f(b)이므로 양 끝점을 제외한 점 x=c에서 최대값 또는 최소값을 가집니다.

⑴x=c 에서 최대값 f(c)를 가질 때

f(c+Δx)-f(c)≤0 이므로

이 성립합니다.

한편, 함수 f(x)는 x=c 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

따라서 

⑵ x=c 에서 최소값 f(c)를 가질 때

⑴와 같은 방법으로 f'(c)=0. □

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

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2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

두 함수 y=f(y), u=g(x) 가 미분가능할 때,

합성함수 y=f(g(x))의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

x의 증분 Δx 에 대한 u의 증분을 Δu, u의 증분 Δu 에 대한 y의 증분을 Δy 라고 하면

그런데

두 함수 y=f(u), u=g(x) 는 미분가능하므로

여기서,

u=g(x) 는 연속이므로 Δx→0 일 때, Δu→0 입니다.

따라서

다음은 

미분가능한 함수 y=f(x) 에 대하여

 (n은 자연수)

가 성립함을 수학적 귀납법을 통해 증명하도록 하겠습니다.

ⓐ n=1 일 때

따라서 위에 주어진 등식이 성립합니다.

ⓑ 만약 n=k 일 때 성립한다고 가정한다면

따라서 n=k+1 일 때에도 위에 주어진 등식이 성립합니다.

따라서 ⓐ, ⓑ 를 통해  

 (n은 자연수)

가 성림됨을 알 수 있습니다.□

두함수 f(x), g(x) 가 미분가능할 때,

몫의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

먼저,

함수

에 대하여

그런데 함수 g(x) 는 미분가능한 함수이므로

그리고,

함수

라고 하면

이므로

따라서

여기서 g(x)는 미분가능한 함수이므로 연속입니다.

즉,

이므로

한편,

함수

에 대하여

이므로

두 함수의 곱의 미분법을 이용하면

n이 0 또는 양의 정수일 때,

 의 도함수는

n이 음의 정수일 때,

n=-m (m은양의 정수)이라고 하면

따라서

n이 정수일 때 

 의 도함수는

입니다.

함수 

(n은 양의 정수) 

의 도함수를 구해보면

특히,

상수함수 f(x)=c (c는 상수)의 도함수는

입니다.

미분가능한 두 함수 f(x), g(x) 의 실수배, 합, 차로

이루어진 함수의 도함수를 구해보면 다음과 같습니다.

ⓐ

(단, c는 상수)

ⓑ

ⓒ

ⓑ와 같은 방법으로

미분가능한 두 함수 f(x), g(x)의 곱으로

이뤄진 함수의 도함수도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

미분가능한 함수 g(x) 는 연속함수이기때문에

미분법의 기본 공식

일반적으로 함수 y=f(x) 가 정의역 X 에서 미분가능하면

정의역에 속하는 모든 x 에 대하여

미분계수 f'(x) 를 대응시키는 새로운 함수

f':x → f'(x)

즉,

가 존재합니다.

이 때,

함수 f'(x) 를 f(x) 의 도함수라 하고,

이것을 기호로

라고 나타냅니다.

함수 y=f(x) 에서 그 도함수 f'(x) 를 구하는 것을

함수 y=f(x) 를 x 에 대하여 미분한다라고 하고

그 계산법을 미분법이라고 합니다.

함수 y=f(x)의 x=a 에서의 미분가능하다고 한다면

미분계수

가 존재하고 f'(a)는 일정한 값이므로

즉, 함수 y=f(x) 는 x=a 에서 연속입니다.

일반적으로

함수 y=f(x) 는 x=a 에서 미분가능하다고 한다면

y=f(x) 는 x=a 에서 연속입니다.

그러나 그 역은 참이 아닙니다.

지난 포스팅에서 미분계수에 대략적인 내용을 알아보았으니

이번 포스팅에서는 미분계수의 기하학적 의미에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

미분계수의 기하학적 의미

일반적으로 함수 y=f(x) 의 그래프 위의

두 점 P(a,f(a)) , Q(a+Δx,f(a+Δx))

에 대하여 평균변화율

는 직선 PQ 의 기울기를 뜻합니다. 

여기서, 점 P 를 고정하고

Δx 를 0 에 한없이 가까워지게 하면

점 Q 는 그래프 위를 움직이면서 점 A 에 가까워지고,

직선 PQ 는 점 P 를 지나는 직선 PT 에

한없이 가까워짐을 알 수 있습니다.

이때 직선 PT 를 점 P 에서의 곡선 y=f(x) 의 접선이라 하며

점 P 를 접점이라고 합니다.

따라서 Δx→0 일 때, 직선 PQ의 기울기의 극한값인

함수 y=f(x)의 x=a 에서의 미분계수

는 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a)) 에서의

접점 PT의 기울기와 같음을 알 수 있습니다.

2017/04/11 - [Cyong's Mathmatics] - 미분계수