최대값 ㆍ 최소값의 정리


함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면

이 함수는 닫힌 구간 [a,b] 에서

반드시

최댓값과 최솟값을 가집니다.

중간값의 정리


함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)≠f(b) 이면,

f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 값 k에 대하여

f(c)=k

인 실수 c가 a, b 사이에 적어도 하나는 존재합니다.

중간값의 정리의 활용


함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르면,

(즉, f(a)f(b)<0 이면)

중간값의 정리에 의하여 

f(x)=0

은 a, b 사이에 적어도 하나의 실근을 가집니다.



2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/08 - [Cyong's Mathmatics] - 다양한 함수의 연속성

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질


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지금까지 구간과 여러 함수의 연속과 불연속에 대해서 배웠습니다.

이번 포스팅에서는 연속함수의 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

연속함수의 성질


어떤 구간에서 두 함수 f(x), g(x)가 연속이면 다음 함수들도 그 구간에서 연속입니다.

ⓐ  (단, c는 상수)

ⓑ 

ⓒ 

ⓓ  (단, g(x)≠0)

증명

두 함수 f(x), g(x)가 모두 x=a에서 연속이면

연속의 정의와 함수의 극한에 대한 성질에 의하여

ⓐ  (단, c는 상수)

ⓑ 

ⓒ 

ⓓ g(x)≠0이면 

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이번 포스팅에서는

다항함수, 분수함수, 무리함수, 로그함수, 삼각함수, 합성함수의 연속성에 대해서 알아보도록 하겠습니다.



다항함수

일차함수, 이차함수, …

(-∞, ∞)에서 연속.


분수함수

(분모)=0 인 점. 즉 f(x)=0 인 점에서 불연속.


무리함수

f(x)≥0 인 범위에서 연속.


로그함수

(단, a>0, a≠1)

x>0 인 범위. 즉 (0,∞) 에서 연속.


지수함수

(단, a>0, a≠1)

(-∞,∞) 에서 연속.


삼각함수

(-∞,∞) 에서 연속.

x=nπ±π/2에서 불연속. (단, n은 정수)


합성함수

일반적으로

함수 f(x)가 x=a에서 연속이고

함수 g(x)가 x=f(a)에서 연속이면

함성함수 y=(gf)(x)=g(f(x)) 는 x=a에서 연속.

이때,

위의 두 조건 중 어느하나라도 만족하지 않으면

x=a에서 연속이 아닐 수도 있습니다.



2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속


지난 포스팅에서는 구간에 대해서 알아봤는데요

이번 포스팅에서는 함수의 연속과 불연속에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

그래프에서 쉽게 표현하자면

x=a에서 연결되어 있다면 연속

x=a에서 연결되어 있지 않고 끊어져 있다면 불연속 입니다.

그렇다면

함수가 연속이려면 어떤 조건을 가져야 할까요?

 


함수의 연속과 불연속

1) x=a에서 연속

함수 f(x)가 실수 a에 대하여

 x=a에서 함수값 f(a)가 정의되고

극한값

가 존재하며

일 때,

함수 f(x)는 x=a 에서 연속이라고 합니다.

2) x=a에서 불연속

함수 f(x)가 실수 a에 대하여

위에 1)x=a에서 연속일 때 가지는 세가지 조건 중

어느 하나라도 만족하지 않을 때,

함수 f(x)는 x=a 에서 불연속이라고 합니다.

 

3)구간에서의 연속

함수 f(x)가 주어진 구간의 모든 점에서 연속이면

f(x)는 그 구간에서

연속 또는 그 구간에서의 연속함수라고 합니다.



2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간


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구간


두 실수 a, b (a<b) 에 대하여 다음 실수의 집합

를 각각 구간이라 하고, 각각 기호로

(a,b) , [a,b] , (a,b] , [a,b)

라고 나타냅니다.

이때,

(a,b)를 열린 구간 또는 개구간

[a,b]를 닫힌 구간 또는 폐구간

(a,b] , [a,b]를 반열린 구간(반개구간) 또는 반닫힌 구간(반폐구간)

이라고 합니다.

또,

실수의 집합

도 각각 구간이라 하고

각각 기호로

(a,∞) , [a,∞) , (-∞,a) , [-∞,a]

라고 나타냅니다.


특히,

실수 전체의 집합도 하나의 구간으로 보고

기호로

(-∞,∞)

와 같이 나타낸다.




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무리수 e


자연수 n의 값이 한없이 커지면 

의 값은 일정한 수에 수렴할 것으로 보입니다.


실제로 n이 실수일 때도

의 값은 존재하며,

그 극한값을 문자e로 나타냅니다.


이때, 수 e는 무리수이며, 그 값은 다음과 같습니다.


한편,

이라고 하면

n→∞일 때, x→0 이므로 

무리수 e는 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

자연로그함수


앞서 정의한 무리수 e를 밑으로 하는 로그함수를 자연로그라고 하며,

무리수 e를 자연로그의 밑이라고 합니다.


이때,

자연로그는

로 나타냅니다.



지수함수의 극한

위의 그래프에서 알 수 있듯이


지수함수

의 극한은 다음과 같습니다.



로그함수의 극한

위의 그래프에서 알 수 있듯이


로그함수

의 극한은 다음과 같습니다.




삼각함수의 극한



(증명)



일 때


위의 그림과 같이

중심이 O인 단위원 위에 ∠AOB=x 인 두 점 A, B를 잡습니다.


점 A에서 원 O 에 그은 접선과 반직선 OB와의 교점을 T라고 하면

△OAB, 부채꼴OAB, △OAT 의 넓이 사이에  


△OAB 의 넓이 < 부채꼴OAB 의 넓이 < △OAT 의 넓이


인 관계가 성립하므로 다음 부등식을 얻을 수 있습니다.



이때, sinx > 0 이므로 

의 각 변을 sinx 로 나누면


여기서

 

이므로

함수의 극한의 대소 관계에 의하여




일 때

x<0이므로 x=-t라고 하면

 x→-0일 때, t→+0 이므로


따라서 ⓐ, ⓑ에 의하여 

입니다.■



2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리


우극한과 좌극한


일반적으로

x가 a보다 큰 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+0


또,

x가 a보다 작은 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+-0


특히,

x→0+0은 x→+0,

x→0-0은 x→-0

으로 나타냅니다.


함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 크면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

α를 x=a에서의 함수 f(x)의 우극한 이라고 하며


기호로는


라고 나타냅니다.


또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 작으면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 β에 한없이 가까워지면

β를 x=a에서의 함수 f(x)의 좌극한 이라고 하며


기호로는


라고 나타냅니다.


x→a일 때, 함수 f(x)의 극한값이 α라는 것은

x=a에서의 우극한과 좌극한이 존재하고

그 값이 모두 α와 같음을 뜻합니다.


즉,

따라서

우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면 

는 존재하지 않습니다.


함수의 극한에 관한 성질



함수의 극한에 대한 성질은 x→a+0, x→a-0, x→∞, x→-∞  일 때에도 성립



함수의 극한의 대소 관계



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함수

에서 x=1 이면 분모가 0이 되므로

x=1의 함숫값 f(1)은 정의되지 않습니다.


하지만 x≠1이면


이므로


x가 1이 아닌 값을 가지면서 1에 한없이 가까워지면

함숫값 f(x)는 2에 한없이 가까워집니다.



일반적으로 함수 f(x)에서

x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고,

α를 x→a 일 때의 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라고 하며,


기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.

특히

 상수함수 f(x)=c(c는 상수)는

모든 x의 값에 대하여 함수값이 항상 c이므로

a의 값에 관계없이

가 성립합니다.

함수

에서 x의 값이 한없이 커지면

f(x)의 값이 0에 한없이 가까워지고

x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때에도

f(x)의 값은 0에 한없이 가까워집니다.


일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 한없이 커질 때 

함수값 f(x)가 일정한 값 α에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고


기호로는

또는

x→∞ 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.



또, x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가 일정한 값 β에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 β에 수렴한다고 하고


기호로는

또는

x→-∞ 일 때, f(x)→β

와 같이 나타냅니다.



함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

f(x)의 값은 한없이 커집니다.

마찬가지로, 함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

g(x)의 값은 음수이고 그 절댓값은 한없이 커집니다.


일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 한없이 커지면

f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 말하고 


기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→∞

와 같이 나타냅니다.

또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 음수이고 그 절대값이 한없이 커지면

f(x)는 음의 무한대로 발산한다고 말하고 


기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→-∞

와 같이 나타냅니다.


일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이

한없이 커지거나, 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하면 


기호로

와 같이 나타냅니다.

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