도함수의 정의에 의하여

여기서,

로 놓으면

Δx→0일 때 h→0 이므로


한편, a>0, a≠1 일 때


로그함수가 y=ln|x| 일 때

ⓐ x>0 일 때,  y=ln|x|=lnx 이므로

 

ⓑ x<0 일 때,  y=ln|x|=ln(-x) 이므로

 

따라서 ⓐ, ⓑ에 의하여


한편, 

의 도함수는

이제

함수 f(x)가 미분가능한 함수일  때, 합성함수의 미분법을 이용하여

로그함수가 y=ln|f(x)| 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

ⓒ f(x)>0 일 때,  |f(x)|=f(x) 이므로

u=f(x)라 하면 y=lnf(x)=lnu

 

ⓓ  f(x)<0 일 때,  |f(x)|=-f(x) 이므로

u=-f(x)라 하면 y=ln{-f(x)}=lnu

따라서 ⓒ, ⓓ에 의하여


일반적으로 로그함수 에서

f(x)가 미분가능하고 f(x)≠0 일 때,

이므로 합성함수의 미분법에 의하여


이것을 활용해서

로그함수의 미분법을 이용하여 α가 실수일 때,

 함수 의 도함수를 구해봅시다.

 함수 에서 양변에 절대값에 자연로그를 취하면

양변을 x에 대하여 미분하면


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