D.M.숑스토리

미분가능한 함수 y=f(x)의 역함수가 존재하고 미분가능할 때 y=f(x)의 역함수의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

이 때, 양변을 x에 대하여 미분하면, 음함수의 미분법에 의하여

이번에는

미분가능한 함수 y=f(x)의 역함수 g(x)가 존재하고 미분가능할 때 합성함수의 미분법을 이용하여 y=g(x)의 역함수의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

g(x)가 f(x)의 도함수이므로

이 때, 합성함수의 미분법에 의하여

2017/04/22 - [Cyong's Mathmatics] - 음함수의 미분법

2017/04/21 - [Cyong's Mathmatics] - 매개변수와 매개변수함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

x의 함수y가 f(x,y)=0 의 꼴로 주어졌을 때, y를 x 의 음함수라고 합니다.

예를 들어 x+y+1=0 또는 xy+2x+y=0 은 모두 음함수입니다.

이때,

음함수를 양함수로 고치지 않고, y를 x의 함수로 보아 도함수를 구하는 것을 음함수의 미분법이라고 합니다.

음함수의 미분법 이용하여 r이 유리수일 때,

함수 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

(m,n은 정수, m≠0)이라고 하면

이 때, 양변을 x에 대하여 미분하면, 음함수의 미분법에 의하여

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

x, y의 함수 관계가 변수 t를 매개로 하여 x=f(t), y=g(t)인 꼴로 나타낼 때,

변수 t를 매개변수라고 합니다.

이때,

함수 x=f(t), y=g(t)를 매개변수로 나타내어진 함수라고 합니다.

두 함수 f(t), g(t)가 미분가능하고 f'(t)≠0 일 때, 매개변수로 나타내어진

함수 f(t), g(t) 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

매개변수 t의 증분 Δt에 대한 x의 증분 Δx, y의 증분을 Δy라고 하면

f(t)≠0 이므로 Δx→0 일 때, Δt→0 입니다.

따라서

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

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2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

지난 포스팅에서는 구간에 대해서 알아봤는데요

이번 포스팅에서는 함수의 연속과 불연속에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

그래프에서 쉽게 표현하자면

x=a에서 연결되어 있다면 연속

x=a에서 연결되어 있지 않고 끊어져 있다면 불연속 입니다.

그렇다면

함수가 연속이려면 어떤 조건을 가져야 할까요?

함수의 연속과 불연속

1) x=a에서 연속

함수 f(x)가 실수 a에 대하여

ⓐ

 x=a에서 함수값 f(a)가 정의되고

ⓑ

극한값

가 존재하며

ⓒ

일 때,

함수 f(x)는 x=a 에서 연속이라고 합니다.

2) x=a에서 불연속

함수 f(x)가 실수 a에 대하여

위에 1)x=a에서 연속일 때 가지는 세가지 조건 중

어느 하나라도 만족하지 않을 때,

함수 f(x)는 x=a 에서 불연속이라고 합니다.

3)구간에서의 연속

함수 f(x)가 주어진 구간의 모든 점에서 연속이면

f(x)는 그 구간에서

연속 또는 그 구간에서의 연속함수라고 합니다.

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간