부정적분의 치환적분법에서 x=g(t)로 놓으면

여기서

라고 하면

또, x=g(t) 에서 a=g(α), b=g(β)라 하면

따라서

x=g(t)가 미분가능하고, a=g(α), b=g(β)라 하면



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일반적으로 부정적분

에서 x를 다른 변수 t의 함수 x=g(t)로 놓으면 F(x)=F(g(t))가 됩니다.

F(x)를 t에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의하여

따라서

이와 같이 x=g(t)로 놓아 변수 x를 t의 함수로 치환하여 적분하는 방법을 치환적분법이라고 합니다.

치환적분법을 이용하여 부정적분

를 구해보도록 하겠습니다.

u=f(x)로 놓으면

이므로

따라서 아래와 같은 공식이 성립합니다.



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정적분을 통해서 여러가지를 구할 수 있습니다.

그 두번째 시간! 바로 그래프의 부피입니다.

아래의 그림과 같이 어떤 입체도형이 주어져 있고 한 직선을 x축으로 정하였을 때,

 x좌표가 a, b인 두 점을 지나 x축에 수직인 두 평면 사이에 있는 부분의 부피를 구해보도록 하겠습니다.

x축 위의 구간 [a,b]를 n등분하여 양 끝점과 분점을 차례로

라 하고, 소구간의 길이를 Δx라고 합시다.

또, 좌표가 인 점을 지나 x축에 수직인 평면으로 입체를 잘랐을 때,

생기는 단면의 넓이를 라고 하면, 밑면의 넓이가 이고 높이가 Δx인 k번째 기둥의 부피는 이므로 n개의 기둥의 부피의 합

 

따라서 구하는 입체의 부피 V는 구분구적법과 정정분의 정의에 의하여

함수 f(x)가 구간[a,b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)를 x축의 둘레로 회전시켜서 생기는 회전체의 부피V를 구해보도록 하겠습니다.

위의 그림과 같이 x좌표가 x인 점을 지나 x축에 수직인 평면으로 이 회전체를 자르면, 그 단면은 반지름의 길이가 |y|인 원이 됩니다.

그 단면의 넓이를 S(x)라고 하면

따라서, 구하는 회전체의 부피

마찬가지로 구간 [c,d]에서 곡선 x=g(y)를 y축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 같은 방법으로 구하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.



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정적분을 통해서 여러가지를 구할 수 있습니다.

그 첫번째가 바로 그래프의 넓이입니다.

㈀ 구간 [a,b]에서 f(x)≥0 일 때,

㈁ 구간 [a,b]에서 f(x)≤0 일 때,

곡선 y=f(x)는 y=-f(x)와 x축에 대하여 대칭이고 -f(x)≥0 이므로

㈂  구간 [a,c]에서 f(x)≤0 이고, 구간 [c,b]에서 f(x)≥0 일 때,

곡선과 y축 사이의 넓이는 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 때와 같이 생각하여 구하면 됩니다.

즉, x=g(y)가 구간[c,d]에서 g(y)≥0 이면 곡선 x=g(y)와 y축 및 두 직선 y=c, y=d로 둘러싸인 도형의 넓이

g(y)≤0 일 때의 넓이는 앞에서와 같이

따라서 아래 그림과 같이 x=g(y)가 주어질 때 구간[c,d]에서 곡선 x=g(y)와 y축 사이의 넓이



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두 함수 f(x), g(x)의 부정적분을 각각 F(x), G(x)라고 하면

와 같은 정적분의 성질을 가집니다.



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함수 y=f(t)가 구간 [a,b]에서 연속이고 f(t)≥0 이라고 하면

아래 그림과 같이 구간 [a,b]에 속하는 임의의 x에 대하여 a에서 x까지의 곡선 y=f(t)와 t축 사이의 넓이를 S(x)라 하면

이 때, x의 증분 Δx(Δx>0)에 대하여 S(x)의 증분을 ΔS라고 하면

ΔS=S(x+Δx)-S(x).

한편,

구간 [x,x+Δx]에서 함수 f(t)는 연속이므로 최대값과 최소값을 각각 M,m이라고 하면

mΔx≤ΔS≤MΔx

여기서 Δx→0 이면

함수 f(t)는 [a,b]에서 연속함수이므로

Δx→0 이면 m→f(x), M→f(x)

적분과 미분의 관계에서 S'(x)=f(x)이므로 S(x)는 f(x)의 부정적분입니다.

여기서 f(x)의 또 다른 부정적분의 하나를 F(x)라고 하면 아래와 같은 식이 성립합니다

(C는 적분상수)……ⓐ

S(x)의 정의에 의하여 x=a이면 S(a)=0이므로 ⓐ에서

이것을 ⓐ에 대입하면

이 식에 x=b(a<b)를 대입하고 적분변수 t를 x로 바꾸면

……ⓑ

이 것을 정적분의 기본 정리라고 합니다.

이때 ⓑ의 우변 F(b)-F(a)를 기호로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

지금까지는 a<b 일 때

정적분 를 정의하였으나,

a=b, a>b일 때에는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

위의 정의에 의하여 a>b이고 F'(x)=f(x)일 때,

따라서 정적분의 기본정리는 아래끝, 위끝의 대소에 관계없이 항상 성립한다.■



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구간 [a,b]를 n등분하여 양 끝점과 각 분점을 차례로

이라 하고, 각 소구간의 길이를 Δx라고 하면 다음과 같습니다.

이 때, 위의 그림과 같이 각 소구간의 오른쪽 끝에서의 함수값이 세로의 길이인 직사각형의 넒이의 합을이라고 하면

여기서,

n→∞ 이면 은 구하는 도형의 넓이 S에 한없이 가까워집니다.

따라서

일반적으로 함수 y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이면

가 항상 존재합니다.

이 때, 이 극한값을 함수 f(x)의 a에서 b까지의 정적분이라 하고, 기호로는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그리고 위의 적분값을 구하는 것을 함수 f(x)를 a에서 b까지 적분한다고 하고, a를 이 정적분의 아래끝, b를 위끝이라고 합니다.

이때,

y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이고 f(x)≥0 이면

정적분은 곡선 y=f(x), 직선 x=a, x=b 그리고 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 나타냅니다.

그리고

아래 그림과 같이 y=f(x)가 구간[a,b]에서 연속이고, 양의 값, 음의 값 모두 가지면

정적분은 x축 위쪽의 넓이 S₁에서 x축 아래쪽의 넓이 S₂ 를 뺀 값을 나타냅니다.


2017/05/05 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분

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미분을 역으로 생각하면 여러가지 함수의 부정적분에 대해서 알아볼 수 있습니다.

우선

(n은 실수)의 미분법에서 n≠-1 일 때,

이므로

 (단, C는 적분상수)

또, 로그함수의 미분법에서

이므로

삼각함수의 미분법에서

지수함수의 미분법에서

를 역으로 생각해보면 아래와 같은 여러가지 함수의 부정적분을 알 수 있습니다.



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어떤 함수 F(x) 의 도함수가 f(x) 일 때,

F'(x)=f(x)

일 때,

F(x)를 f(x)의 부정적분 또는 원시함수라 하고 기호로는

와 같이 나타낼 수 있습니다. 이때, 함수 f(x) 를 피적분함수라고 합니다.

함수 f(x)의 부정적분을 구하는 것을 f(x)를 적분한다고 하며, 그 계산 방법을 적분법이라고 합니다.

일반적으로 함수 F(x), G(x)가 모두 함수 f(x)의 부정적분이면

이므로 다음이 성립한다.

그런데 도함수가 0인 함수는 상수함수이므로 상수를 C라고 하면

따라서 함수 f(x)의 부정적분 중의 하나를 함수 F(x)라고 하면 함수 f(x)의 임의의 부정적분은

F(x)+C (C는 상수)

인 꼴로 나타낼 수 있습니다.

이때, 상수 C를 적분상수라고 합니다.


다시 말해

F'(x)=f(x)일 때,

(단, C는 적분상수)


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함수 f(x), g(x)의 부정적분을 각각 F(x), g(x)라고 하면

이므로

(단, k는 상수)

따라서 아래와 같은 식이 성립합니다.


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