D.M.숑스토리

삼각함수의 극한

(증명)

ⓐ

일 때

위의 그림과 같이

중심이 O인 단위원 위에 ∠AOB=x 인 두 점 A, B를 잡습니다.

점 A에서 원 O 에 그은 접선과 반직선 OB와의 교점을 T라고 하면

△OAB, 부채꼴OAB, △OAT 의 넓이 사이에  

△OAB 의 넓이 < 부채꼴OAB 의 넓이 < △OAT 의 넓이

인 관계가 성립하므로 다음 부등식을 얻을 수 있습니다.

이때, sinx > 0 이므로 

의 각 변을 sinx 로 나누면

여기서

이므로

함수의 극한의 대소 관계에 의하여

ⓑ

일 때

x<0이므로 x=-t라고 하면

 x→-0일 때, t→+0 이므로

따라서 ⓐ, ⓑ에 의하여 

입니다.■

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

우극한과 좌극한

일반적으로

x가 a보다 큰 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+0

또,

x가 a보다 작은 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+-0

특히,

x→0+0은 x→+0,

x→0-0은 x→-0

으로 나타냅니다.

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 크면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

α를 x=a에서의 함수 f(x)의 우극한 이라고 하며

기호로는

라고 나타냅니다.

또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 작으면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 β에 한없이 가까워지면

β를 x=a에서의 함수 f(x)의 좌극한 이라고 하며

기호로는

라고 나타냅니다.

x→a일 때, 함수 f(x)의 극한값이 α라는 것은

x=a에서의 우극한과 좌극한이 존재하고

그 값이 모두 α와 같음을 뜻합니다.

즉,

따라서

우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면 

는 존재하지 않습니다.

함수의 극한에 관한 성질

함수의 극한에 대한 성질은 x→a+0, x→a-0, x→∞, x→-∞  일 때에도 성립

함수의 극한의 대소 관계