D.M.숑스토리

수학함수를 이용한 회귀분석

회귀분석 : 두 변수 사이의 관계에 '가장 근접한' 선형 관계를 찾아내는 것.

선형회귀분석 모델의 구조는 선형판별함수와 동일합니다.

(표준)선형회귀분석 : 모델을 데이터에 맞추기 위한 방법(오차를 줄여나가는 방법)

최소제곱회귀분석 : 오찻값의 제곱의 합계나 평균값을 최소화. 계산편리성으로 널리 사용됩니다. 하지만 민감하게 반응한다는 단점이 있습니다. 외곽의 데이터 객체가 선형함수를 상당히 왜곡시킬 수 있기 때문입니다. 최소제곱법, 또는 최소자승법, 최소제곱근사법, 최소자승근사법(method of least squares, least squares approximation)은 어떤 계의 해방정식을 근사적으로 구하는 방법으로, 근사적으로 구하려는 해와 실제 해의 오차의 제곱의 합이 최소가 되는 해를 구하는 방법으로  값을 정확하게 측정할 수 없는 경우에 유용하게 사용될 수 있으며, 특히 그 계의 방정식이 어떤 형태인지를 알고 있을 때 방정식의 상수 값들을 추정하는 데에 사용됩니다.

계층 확률 추정과 로지스틱 회귀분석

계층확률 추정 : 새로운 객체가 어떤 계층에 속할 확률을 추정하는 것입니다. 예를들어 금융, 통신 등의 분야에서의 사기사건 탐지하는 것으로 선형판별식으로 사기 당한 계좌나 거래를 찾습니다.

위험에 처할 가능성이 높은 확률을 추정할 수 있어야 함

로지스틱회귀분석 : 다른 목적함수를 선택해 계층 확률을 정확히 추정하는 모델을 만드는 절차

승산 : 사건이 일어날 가능성을 표현하는 또 다른 방법으로 선형함수 f(x)가 사건이 일어날 로그승산을 측정하는 도구로 사용됩니다.

ex ) 모델은 특징 벡터 x로 표현한 고객이 만료 후에 서비스를 해지할 것인지에 대한 로그 승산을 추정할 수 있습니다.

확률 추정에 있어 로지스틱 회귀 분석은 분류하기 위한 선형판별식이나 수치형 타겟값을 추정하기 위한 선형 회귀분석과 동일한 선형 모델 사용

로지스틱 회귀모델이 계산한 값은 계층에 속할 로그 승산입니다. 로그승산은 계층에 속할 확률로 변환할 수 있으므로, 로지스틱 회귀분석을 계층에 속할 확률모델과 똑같이 생각할 수 있습니다.

로지스틱 회귀분석 : 수학적 세부사항

사건이 발생할 확률 추정치 : 

사건이 발생하지 않을 확률 추정치 : 

g함수는 객체 x에 대한 특징이 주어졌을 때 모델 x의 실제 계층을 추정할 수 있는 확률 계산 일렬의 가중치(w)가 파라미터가 됩니다.

최고유망모델 : 합계값이 가장 높은 모델로 평균적으로 양성 데이터일 때 가장 높은 가능성을 가지고, 음성데이터일 때 가장 낮은 가능성을 가집니다.

사례 : 로지스틱 회귀분석과 트리유도 비교

공통점

분류트리와 선형 분류자 : 모두 선형 결정 경계 사용

차이점

분류트리 : 객체공간 축에 직교하는 선으로 나타나는 결정 경계를 사용, 하나의 속성만 선택 객체공간을 반복해서 분할해, 객체를 매우 작은 영역까지 잘라낼 수 있습니다.

선형분류자 : 결정 경계는 방향 제한이 없음. 전체 속성에 대한 가중치 조합 사용합니다. 단 하나의 결정 경계로 경계의 방향은 자유롭짖만 두개의 세그먼트로 분할해야 합니다.

특징의 차이로 주어진 데이터 세트에 어느 모델이 더 잘 맞는지는 사전에 판단하기 어렵습니다.

비선형 함수, 지원벡터기계(SVM), 신경망

함수에 더 복잡한 특징을 추가하면 실제로 선형함수로 비선형모델 표현이 가능합니다. 파라미터를 복잡한 비선형 함수에 맞추는 바업에 기반한 기술은 비선형 지원 벡터기계와 신경망 계열에 주로 사용됩니다.

비선형지원벡터기계 : 본질적으로 복잡한 항목을 추가해 선형모델을 데이터에 맞출 수 있게 해주는 기법을 체계화 한 것으로 다항식 커널로 비선형 지원벡터기계를 구현 할 수 있습니다.

커널함수 : SVM에 원래의 특징을 다른 특징 공간에 대응 시키는 함수입니다.

신경망 : 모델을 스택구조로 층층이 쌓는 방법입니다. 일반적으로 최상위 계층에서만 타겟 변숫값 사용합니다.

가장 아래 계층은 로지스틱회귀분석을 주로 사용하고 윗 계층은 아래계층에 대한 계산결과로 다른 모델 만듭니다.

적합화 함수에 기반해 목적함수 결정하고 최적화 절차를 통해 거대하고 복잡한 함수에 가장 적합한 파라미터를 알아낼 수 있습니다.

다만 범용적으로 적용하기 보다는 특정 훈련 데이터 세트에만 잘 맞게 됨

데이터에 대한 모델 적합화 요약

함수 적합화는 파라메트릭 함수 모델링을 뜻하며, 데이터 마이닝으로 적합화할 파라미터가 데이터 속성들의 가중치가 됩니다. 함수를 적합화를 위해 주로 동일한 선형모델 구조, 즉 속성값들의 가중치 합을 사용하며 선형모델링 기법에는 SVM, 로지스틱 회귀분석, 선형 회귀분석과 같은 선형 판별식을 사용합니다. 그러나 각 기법은 서로 다른 함수를 사용하기 때문에 차이가 날 수 있습니다.

데이터 모델링에 있어 상당히 다른 두 가치 기법 : 트리유도와 함수 적합화

모델을 평가할 수 있는 두 가지 기준 : 모델의 예측 성능과 정보성

동일한 데이터 세트에 대해 여러 모델을 만들어 보면 데이터에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다. 다만 모델을 데이터에 맞추다 보면 데이터 세트에 우연히 들어간 구조를 발견하게 되는 데 이를 과적합화라고 부릅니다.

2017/05/27 - [Cyong's 마케팅/Data Science] - [Data Science] Ch.3 데이터에 대한 모델 적합화(수학 함수를 통한 분류)

2017/05/24 - [Cyong's 마케팅/Data Science] - [Data Science] Ch2. 트리구조모델

2017/03/25 - [Cyong's 마케팅/Data Science] - [Data Science] Ch1. 예측모델링_정보전달하는 속성 찾아내기

Review

전체 데이터 집합을 세분화하여 더욱 정확한 정보를 전달하는 속성을 찾아가면서 감독 세분화 모델을 만듭니다.

[용어정리]

모델 : 목적 달성을 위해 실 세계를 명확화, 단순화하여 일정한 규칙으로 표현하는 것.

모델링 : 데이터에서 발견된 특정한 규칙에 의해 모델의 종류나 패턴을 생성하는 데 그것을 발견하는 행위.

예측 : 발생할 일이나, 모르는 값을 추정하는 것.

예측모델 : 어떤 값을 예측하기 위해 일정한 규칙으로 표현한 공식.

예측모델링 : 데이터 과학에서 타겟 값(미래의 행동 또는 변화의 결과)을 예측하는 것.

데이터 마이닝 : 모델이 가능한 한 데이터에 잘 맞도록 파라미터를 튜닝하는 것.

파라미터 : 전달자

파라미터 학습(Parametric modeling) : 파라미터를 수정하여 모델의 정확성을 높이는 방법

파라미터 학습에 대한 주요 가정

1. 2개의 결과값만 고려(어떤 사건이 발생한다,  안한다)합니다.

2. 속성은 수치형 속성(즉, 숫자로 표기된 속성)만 고려합니다.

3. 수치형 데이터는 표준화하지 않습니다.(예를 들어, 나이, 소득 등의 단위가 다른 데이터를 공통단위로 표준화하지 않습니다.)

수학 함수를 통한 분류

선형 판별 함수

모델을 데이터에 적합화하려 할 때 모델을 수학적으로 표현하면 도움이 됩니다.

이를 선형 판별식이라 하며, 결정 경계를 나타내는 함수는 속성들의 선형 조합(가중치의 합)입니다.

속성의 가중치 합으로 모델을 표현할 수 있으며, 이 선형모델이 일종의 다변형 감독 세분화입니다.

여러 속성을 한꺼번에 고려하기 위해 속성을 변수로 사용해 수학함수로 만듭니다.

선형함수의 가중치가 기울기입니다. 올바른 가중치는 특정데이터 세트에 맞도록 만들어야 합니다. 데이터 학습 후 알아낸 가주이는 각 특징의 중요도를 나타내는데, 특정 가중치가 크면 타겟을 분류하는 데 더 중요한 특징으로 생각되며, 특정 가중치가 0에 가까울 수록 그 특징은 무시됩니다.

하지만 계층을 잘 나누는 선을 고르는 일은 쉽지 않습니다. 그렇기 때문에 각각의 판별식은 데이터 모델을 나타내며, 훈련 데이터 세트를 완벽히 구분하는 선은 무한히 많음에도 불구하고 어떤 선을 골라야 할지의 선택이 문제가 됩니다.

목적함수의 최적화

데이터 마이닝하는 진정한 목표에 맞는 목적 함수를 만드는 일은 거의 불가능 합니다. 하지만 목적함수를 만드는 효율적인 방법들이 있으며, 가장 효율적인 방법은 <지원벡터기계(Support Vector Machine(SVM))>가 있고, 데이터 마이닝 기법 중 선형모델을 적용해 계층 확률을 추정하는 <로지스틱 회귀 분석(Logistic regression)>이 있습니다. SVM과 로지스틱회귀분석에 대해서 나중에 좀 더 자세히 다루도록 하고, 아래의 예를 통해 SVM과 로지스틱 회귀분석에 대해서 간략하게 알아보도록 하겠습니다.

ex) 아이리스(나무)의 여러 종에 대한 데이터 세트

아이리스 세토사 / 아이리스 베르시컬로 2종류를 분류하여 x축: 꽃잎 너비, y축 : 꽃받침 너비의 측정값으로 둡니다.

로지스틱 회귀분석 : 두 계층을 완전히 분할 / 선 왼쪽 - 베르시 컬로, 선 오른쪽 - 세토사로 분류

SVM : 두 덩어리의 거의 한 가운데 있으나, 별모양을 분리해내지는 못합니다.

객체를 점수화하고 순위매기는 선형판별함수

어느 객체가 어느 계층에 속하는 지가 아닌, 속할 확률이 어느 정도인지 알고 싶은 경우 사용합니다. 예를 들어, 어떤 고객이 프로모션에 응할 가능성이 높은 지, 어느 고객이 계약 만료 후 해지할 가능성이 높은지 알아볼 때 선형판별함수로 객체가 어떤 계층에 속할 확률에 따라 순서를 매기고 결정경계에 있는 사람들은 어느 계층에 속할 지 가장 불확실하고 멀어질수록 확률이 높다 판단할 수 있습니다.

지원벡터기계(SVM) 개요

SVM은선형판별식으로써 특징에 대한 선형 함수에 기반해 객체를 분류합니다.

SVM의 목적함수 : 아직 분석하지 않은 데이터를 쉽게 분류하기 위해 선형판별식 주위의 폭을 최대로 만드는 것이 목적입니다.

(앞서 말한대로, 목적함수는 계층 두개를 분할하는 무수한 선형판별식 중 어떤 선이 가장 좋을 지 선택합니다.)

경첩손실함수 : 분류가 불가능한 데이터 처리방법으로 잘못 분류한 데이터에 벌점을 적용하여 가장 잘 맞는 함수만 사용할 수 있도록 하는 함수입니다.(분할경계에서 멀리 떨어질수록 더 많은 벌점을 부여함)

2017/03/25 - [Cyong's 마케팅/Data Science] - [Data Science] Ch1. 예측모델링_정보전달하는 속성 찾아내기

2017/05/24 - [Cyong's 마케팅/Data Science] - [Data Science] Ch2. 트리구조모델

트리 구조 모델을 이용한 감독 세분화

속성 선택이 매우 중요하긴 하지만 속성을 선택하는 것이 전부는 아닙니다. 만약 정보량을 증가시키는 속성이 하나가 아니라 여러 개 존재한다면 이 속성들을 어떻게 결합해야 할 지 판단하기 쉽지 않습니다. 이럴 때는 중요한 속성을 골라내기 위해 개발한 방법을 활용한 다변량 감독 세분화 방법인 트리구조화 방법을 이용합니다.

출처:Data Science for Business

트리는 내부노드(Internal node)와 단말노드(Teminal node)로 나눠지며, 내부노드에서 가지가 뻗어 나옵니다. 트리구조는 모든 데이터가 트리에서 단 하나의 경로를 따라 결국 단 하나의 단말노드에 도착하도록 데이터를 분할합니다. 달리 말하면, 단말노드는 하나의 세그먼트(segment)이고, 여기에 도착하는 경우의 값은 세그먼트의 특성을 나타냅니다. 그리고 분류에 대해 설명하고 있으므로 각 단말 노드는 세분화한 그룹을 담고 있으며, 이런 트리를 분류트리 또는 결정트리라고 부릅니다.

데이터에서 분류트리를 만드는 방법

트리유도는 분할정복법을 이용합니다. 우선 전체 데이터 세트에서 속성을 기준으로 가장 순수한 하위그룹으로 분할하는 변수를 찾습니다. 그리고 이를 재귀적으로 반복하여 트리를 유도할 수 있습니다.

확률 추정

트리의 단말 노드에 있는 모든 객체에 동일한 계층확률을 부여해도 된다면 단말노드에 있는 객체의 수를 이용해 계층 확률 추정치를 계산할 수 있습니다. 예를 들어 단말노드에 n개의 긍정적인 객체와 m개의 부정적인 객체가 있다면 새로 세그먼트로 분류된 객체가 이 계층에 속할 확률은 입니다. 이렇게 확률을 계산하는 방법을 빈도기반 계층확률추정이라고 합니다. 그러나 객체 수가 적을 때는 난관적인 결과(과적합화(overfitting))를 초래할 수도 있습니다. 이럴 경우에는 단순히 빈도를 계산하는 대신 빈도를 완충시킬 수 있는 라플라스 교정법을 사용해서 아래와 같은 식으로 바꿔줍니다.

(n은 단말노드, c는 계층에 속하는 객체의 수, m은 c객체에 속하지 않는 객체의 수)

트리유도로 고객이탈 문제 해결하기

분류트리를 만들기 전 '고객이탈을 예측하는 데 변수들의 중요성'을 알기 위해 각 속성의 정보증가량(IG)을 측정합니다.

(IG에 대한 설명 참고 - 2017/03/25 - [Cyong's 마케팅/Data Science] - [Data Science] Ch1. 예측모델링_정보전달하는 속성 찾아내기)

그리고 IG의 순위로 정렬한 속성데이터를 차례로 노드로 트리를 만듭니다. 하지만 루트노드를 제외한 모든 노드 변수는 전체 객체 집합이 아니라 상위노드에 의해 분류된 객체만을 평가하기 때문에 내부노드의 정보증가량 순위와 전체집합의 정보증가량은 다를 수 있습니다.(대게 같지 않습니다.)