일반적으로 함수 y=f(x) 가 정의역 X 에서 미분가능하면
정의역에 속하는 모든 x 에 대하여
미분계수 f'(x) 를 대응시키는 새로운 함수
f':x → f'(x)
즉,
가 존재합니다.
이 때,
함수 f'(x) 를 f(x) 의 도함수라 하고,
이것을 기호로
라고 나타냅니다.
함수 y=f(x) 에서 그 도함수 f'(x) 를 구하는 것을
함수 y=f(x) 를 x 에 대하여 미분한다라고 하고
그 계산법을 미분법이라고 합니다.
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무리수 e
자연수 n의 값이 한없이 커지면
의 값은 일정한 수에 수렴할 것으로 보입니다.
실제로 n이 실수일 때도
의 값은 존재하며,
그 극한값을 문자e로 나타냅니다.
이때, 수 e는 무리수이며, 그 값은 다음과 같습니다.
한편,
이라고 하면
n→∞일 때, x→0 이므로
무리수 e는 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.
자연로그함수
앞서 정의한 무리수 e를 밑으로 하는 로그함수를 자연로그라고 하며,
무리수 e를 자연로그의 밑이라고 합니다.
이때,
자연로그는
로 나타냅니다.
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삼각함수의 극한
(증명)
ⓐ
일 때
위의 그림과 같이
중심이 O인 단위원 위에 ∠AOB=x 인 두 점 A, B를 잡습니다.
점 A에서 원 O 에 그은 접선과 반직선 OB와의 교점을 T라고 하면
△OAB, 부채꼴OAB, △OAT 의 넓이 사이에
△OAB 의 넓이 < 부채꼴OAB 의 넓이 < △OAT 의 넓이
인 관계가 성립하므로 다음 부등식을 얻을 수 있습니다.
이때, sinx > 0 이므로
의 각 변을 sinx 로 나누면
여기서
이므로
함수의 극한의 대소 관계에 의하여
ⓑ
일 때
x<0이므로 x=-t라고 하면
x→-0일 때, t→+0 이므로
따라서 ⓐ, ⓑ에 의하여
입니다.■
2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질
2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리
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