D.M.숑스토리

곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f'(a)와 같습니다.

따라서 곡선 y=f(x) 위의 한 점 P에서의 접선은 점 P(a,f(a))를 지나고 기울기가 f'(a)인 직선이므로 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

원 x²+y²=r² 위의 점 P(x₁,y₁)에서의 접선의 방정식은 원의 성질 또는 이차방정식의 판별식을 이용하면 구할 수 있습니다.

앞서 배웠던 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식을 구해보도록 하겠습니다.

원 x²+y²=r² 의 양변을 x 에 대하여 미분하면

(단, y≠0)

ⓐ y₁≠0 일 때, 점 P(x₁,y₁) 에서의 접선의 기울기는 

입니다.

따라서 점 P에서의 접선의 방정식은

양변에 y₁을 곱하여 정리하면

그런데

 이므로 구하는 접선의 방정식은 

입니다.

ⓑ  y₁=0 일 때, x₁=r 또는 x₁=-r

따라서 접선의 방정식은 x=r 또는 x=-r

그런데 이 방정식은  에서 x₁=r , y₁=0 또는  x₁=-r, y₁=0을 대입한 것과 같습니다.

따라서 원 x²+y²=r² 위의 점 P(x₁,y₁) 에서의 접선의 방정식은

함수 y=f(x)의 x=a 에서의 미분가능하다고 한다면

미분계수

가 존재하고 f'(a)는 일정한 값이므로

즉, 함수 y=f(x) 는 x=a 에서 연속입니다.

일반적으로

함수 y=f(x) 는 x=a 에서 미분가능하다고 한다면

y=f(x) 는 x=a 에서 연속입니다.

그러나 그 역은 참이 아닙니다.

지난 포스팅에서 미분계수에 대략적인 내용을 알아보았으니

이번 포스팅에서는 미분계수의 기하학적 의미에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

미분계수의 기하학적 의미

일반적으로 함수 y=f(x) 의 그래프 위의

두 점 P(a,f(a)) , Q(a+Δx,f(a+Δx))

에 대하여 평균변화율

는 직선 PQ 의 기울기를 뜻합니다. 

여기서, 점 P 를 고정하고

Δx 를 0 에 한없이 가까워지게 하면

점 Q 는 그래프 위를 움직이면서 점 A 에 가까워지고,

직선 PQ 는 점 P 를 지나는 직선 PT 에

한없이 가까워짐을 알 수 있습니다.

이때 직선 PT 를 점 P 에서의 곡선 y=f(x) 의 접선이라 하며

점 P 를 접점이라고 합니다.

따라서 Δx→0 일 때, 직선 PQ의 기울기의 극한값인

함수 y=f(x)의 x=a 에서의 미분계수

는 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a)) 에서의

접점 PT의 기울기와 같음을 알 수 있습니다.

2017/04/11 - [Cyong's Mathmatics] - 미분계수