D.M.숑스토리

두 함수 y=f(y), u=g(x) 가 미분가능할 때,

합성함수 y=f(g(x))의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

x의 증분 Δx 에 대한 u의 증분을 Δu, u의 증분 Δu 에 대한 y의 증분을 Δy 라고 하면

그런데

두 함수 y=f(u), u=g(x) 는 미분가능하므로

여기서,

u=g(x) 는 연속이므로 Δx→0 일 때, Δu→0 입니다.

따라서

다음은 

미분가능한 함수 y=f(x) 에 대하여

 (n은 자연수)

가 성립함을 수학적 귀납법을 통해 증명하도록 하겠습니다.

ⓐ n=1 일 때

따라서 위에 주어진 등식이 성립합니다.

ⓑ 만약 n=k 일 때 성립한다고 가정한다면

따라서 n=k+1 일 때에도 위에 주어진 등식이 성립합니다.

따라서 ⓐ, ⓑ 를 통해  

 (n은 자연수)

가 성림됨을 알 수 있습니다.□