D.M.숑스토리

우극한과 좌극한

일반적으로

x가 a보다 큰 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+0

또,

x가 a보다 작은 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+-0

특히,

x→0+0은 x→+0,

x→0-0은 x→-0

으로 나타냅니다.

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 크면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

α를 x=a에서의 함수 f(x)의 우극한 이라고 하며

기호로는

라고 나타냅니다.

또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 작으면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 β에 한없이 가까워지면

β를 x=a에서의 함수 f(x)의 좌극한 이라고 하며

기호로는

라고 나타냅니다.

x→a일 때, 함수 f(x)의 극한값이 α라는 것은

x=a에서의 우극한과 좌극한이 존재하고

그 값이 모두 α와 같음을 뜻합니다.

즉,

따라서

우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면 

는 존재하지 않습니다.

함수의 극한에 관한 성질

함수의 극한에 대한 성질은 x→a+0, x→a-0, x→∞, x→-∞  일 때에도 성립

함수의 극한의 대소 관계

함수

에서 x=1 이면 분모가 0이 되므로

x=1의 함숫값 f(1)은 정의되지 않습니다.

하지만 x≠1이면

이므로

x가 1이 아닌 값을 가지면서 1에 한없이 가까워지면

함숫값 f(x)는 2에 한없이 가까워집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서

x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고,

α를 x→a 일 때의 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라고 하며,

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.

특히

 상수함수 f(x)=c(c는 상수)는

모든 x의 값에 대하여 함수값이 항상 c이므로

a의 값에 관계없이

가 성립합니다.

함수

에서 x의 값이 한없이 커지면

f(x)의 값이 0에 한없이 가까워지고

x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때에도

f(x)의 값은 0에 한없이 가까워집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 한없이 커질 때 

함수값 f(x)가 일정한 값 α에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고

기호로는

또는

x→∞ 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.

또, x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가 일정한 값 β에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 β에 수렴한다고 하고

기호로는

또는

x→-∞ 일 때, f(x)→β

와 같이 나타냅니다.

함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

f(x)의 값은 한없이 커집니다.

마찬가지로, 함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

g(x)의 값은 음수이고 그 절댓값은 한없이 커집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 한없이 커지면

f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 말하고 

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→∞

와 같이 나타냅니다.

또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 음수이고 그 절대값이 한없이 커지면

f(x)는 음의 무한대로 발산한다고 말하고 

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→-∞

와 같이 나타냅니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이

한없이 커지거나, 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하면 

기호로

와 같이 나타냅니다.