D.M.숑스토리

롤의 정리를 일반화한 것이 평균값의 정리입니다.

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

오늘은 평균값 정리에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때

가 되는 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재하는데, 이를 평균값 정리라고 합니다.

두 점 (a,f(a)), (b,f(b))를 지나는 직선의 방정식을 y=g(x)라고 하면

이 때, 함수 h(x)=f(x)-g(x) 라고 하면 h(x)는 열린 구간 (a,b) 에서 미분가능하며

h(a)=h(b)=0

입니다.

따라서 롤의 정리에 의하여

인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

즉,

인 c가 열린 구간 (a,b) 안에 적어도 하나 존재합니다.

평균값의 정리의 뜻을 함수의 그래프를 통해서 살펴보면,

평균값의 정리에서

는 곡선 y=f(x) 위의 두 점 A(a,f(a)), B(b,f(b)) 를 지나는 직선의 기울기를 나타냅니다.

따라서 평균값의 정리는 열린 구간 (a,b)에서 직선AB와 평행한 곡선 y=f(x) 의 접선이 적어도 하나 존재함을 의미합니다.

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

2017/04/27 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 방정식

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/10 - [Cyong's Mathmatics] - 최대값, 최소값, 중간값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 그 구간에서 최대값과 최소값을 갖습니다.

이성질로부터 롤의 정리가 성립합니다.

롤의 정리

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린 구간(a,b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면 f'(c)=0 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

롤의 정리 증명

ⓐ y=f(x)가 상수함수인 경우

열린 구간 (a,b)에 속하는 모든 점 c에서 f'(c)=0 입니다.

ⓑ y=f(x)가 상수함수가 아닌 경우

f(a)=f(b)이므로 양 끝점을 제외한 점 x=c에서 최대값 또는 최소값을 가집니다.

⑴x=c 에서 최대값 f(c)를 가질 때

f(c+Δx)-f(c)≤0 이므로

이 성립합니다.

한편, 함수 f(x)는 x=c 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

따라서 

⑵ x=c 에서 최소값 f(c)를 가질 때

⑴와 같은 방법으로 f'(c)=0. □

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

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2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f'(a)와 같습니다.

따라서 곡선 y=f(x) 위의 한 점 P에서의 접선은 점 P(a,f(a))를 지나고 기울기가 f'(a)인 직선이므로 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

원 x²+y²=r² 위의 점 P(x₁,y₁)에서의 접선의 방정식은 원의 성질 또는 이차방정식의 판별식을 이용하면 구할 수 있습니다.

앞서 배웠던 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식을 구해보도록 하겠습니다.

원 x²+y²=r² 의 양변을 x 에 대하여 미분하면

(단, y≠0)

ⓐ y₁≠0 일 때, 점 P(x₁,y₁) 에서의 접선의 기울기는 

입니다.

따라서 점 P에서의 접선의 방정식은

양변에 y₁을 곱하여 정리하면

그런데

 이므로 구하는 접선의 방정식은 

입니다.

ⓑ  y₁=0 일 때, x₁=r 또는 x₁=-r

따라서 접선의 방정식은 x=r 또는 x=-r

그런데 이 방정식은  에서 x₁=r , y₁=0 또는  x₁=-r, y₁=0을 대입한 것과 같습니다.

따라서 원 x²+y²=r² 위의 점 P(x₁,y₁) 에서의 접선의 방정식은

지난 포스팅에서 다루었던 로그함수 미번법을 이용하여

지수함수 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

의 양변에 자연로그를 취하면

양번을 x에 대하여 미분하면

특히, 함수 의 도함수는 이므로

2017/04/25 - [Cyong's Mathmatics] - 로그함수의 도함수

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

도함수의 정의에 의하여

여기서,

로 놓으면

Δx→0일 때 h→0 이므로

한편, a>0, a≠1 일 때

로그함수가 y=ln|x| 일 때

ⓐ x>0 일 때,  y=ln|x|=lnx 이므로

ⓑ x<0 일 때,  y=ln|x|=ln(-x) 이므로

따라서 ⓐ, ⓑ에 의하여

한편, 

의 도함수는

이제

함수 f(x)가 미분가능한 함수일  때, 합성함수의 미분법을 이용하여

로그함수가 y=ln|f(x)| 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

ⓒ f(x)>0 일 때,  |f(x)|=f(x) 이므로

u=f(x)라 하면 y=lnf(x)=lnu

ⓓ  f(x)<0 일 때,  |f(x)|=-f(x) 이므로

u=-f(x)라 하면 y=ln{-f(x)}=lnu

따라서 ⓒ, ⓓ에 의하여

일반적으로 로그함수 에서

f(x)가 미분가능하고 f(x)≠0 일 때,

이므로 합성함수의 미분법에 의하여

이것을 활용해서

로그함수의 미분법을 이용하여 α가 실수일 때,

 함수 의 도함수를 구해봅시다.

 함수 에서 양변에 절대값에 자연로그를 취하면

양변을 x에 대하여 미분하면

2017/04/21 - [Cyong's Mathmatics] - 매개변수와 매개변수함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/05 - [Cyong's Mathmatics] - 무리수 e 와 자연로그함수

2017/04/04 - [Cyong's Mathmatics] - 지수함수와 로그함수의 극한

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

다양한 삼각함수의 도함수에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

ⓐ 삼각함수 y=sinx 의 도함수

도함수의 정의에 의하여

삼각함수의 차를 곱으로 고치는 공식에 의하여

이므로

또한,

따라서, (sinx)'=cosx 입니다.

ⓑ 삼각함수 y=cosx 의 도함수

도함수의 정의에 의하여

삼각함수의 차를 곱으로 고치는 공식에 의하여

이므로

또한,

그리고

이므로 합성함수의 미분에 의하여

따라서, (cosx)'=-sinx 입니다.

ⓒ 삼각함수 y=tanx 의 도함수

이므로, 몫의 미분법에 의하여

 ⓓ 삼각함수 y=secx 의 도함수

이므로, 몫의 미분법에 의하여

 ⓔ 삼각함수 y=cosecx 의 도함수

이므로, 몫의 미분법에 의하여

 ⓕ 삼각함수 y=cotanx 의 도함수

이므로, 몫의 미분법에 의하여

삼각함수의 도함수

2017/04/23 - [Cyong's Mathmatics] - 역함수의 미분법

2017/04/22 - [Cyong's Mathmatics] - 음함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/03 - [Cyong's Mathmatics] - 삼각함수의 극한

2017/04/01 - [Cyong's Mathmatics] - 삼각함수의 여러가지 공식

2017/04/01 - [Cyong's Mathmatics] - 삼각함수의 합성

2017/04/01 - [Cyong's Mathmatics] - 삼각함수의 덧셈정리

미분가능한 함수 y=f(x)의 역함수가 존재하고 미분가능할 때 y=f(x)의 역함수의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

이 때, 양변을 x에 대하여 미분하면, 음함수의 미분법에 의하여

이번에는

미분가능한 함수 y=f(x)의 역함수 g(x)가 존재하고 미분가능할 때 합성함수의 미분법을 이용하여 y=g(x)의 역함수의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

g(x)가 f(x)의 도함수이므로

이 때, 합성함수의 미분법에 의하여

2017/04/22 - [Cyong's Mathmatics] - 음함수의 미분법

2017/04/21 - [Cyong's Mathmatics] - 매개변수와 매개변수함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

x의 함수y가 f(x,y)=0 의 꼴로 주어졌을 때, y를 x 의 음함수라고 합니다.

예를 들어 x+y+1=0 또는 xy+2x+y=0 은 모두 음함수입니다.

이때,

음함수를 양함수로 고치지 않고, y를 x의 함수로 보아 도함수를 구하는 것을 음함수의 미분법이라고 합니다.

음함수의 미분법 이용하여 r이 유리수일 때,

함수 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

(m,n은 정수, m≠0)이라고 하면

이 때, 양변을 x에 대하여 미분하면, 음함수의 미분법에 의하여

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

x, y의 함수 관계가 변수 t를 매개로 하여 x=f(t), y=g(t)인 꼴로 나타낼 때,

변수 t를 매개변수라고 합니다.

이때,

함수 x=f(t), y=g(t)를 매개변수로 나타내어진 함수라고 합니다.

두 함수 f(t), g(t)가 미분가능하고 f'(t)≠0 일 때, 매개변수로 나타내어진

함수 f(t), g(t) 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

매개변수 t의 증분 Δt에 대한 x의 증분 Δx, y의 증분을 Δy라고 하면

f(t)≠0 이므로 Δx→0 일 때, Δt→0 입니다.

따라서

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지난 포스팅에서 동물병원에 가서 초음파 검사를 받고 태아와 산모 모두 건강한 상태라는 소리를 들었다고 말씀드렸는데요!

안타깝게도 외출로 인해 스트레스를 많이 받았는 지 어제 혈뇨를 보는 거에요ㅠㅠ

한방울씩 피가 섞여 나오고 화장실 가는 일이 잦아지길래 불안한 마음에 다시 병원을 찾았습니다.

다행히

산모와 태아 모두 건강한 상태라고 합니다...만..

심하진 않지만 스트레스 때문인지 시바가 방광염에 걸렸다고 합니다ㅠ

임신 중이라 약도 부담가는 약을 쓰지 못한다고 하네요

그래도 습식사료에 조금씩 섞어서 주라고 먹는 약을 처방해주시긴 하셨어요

무엇보다도 중요한 건 

최대한 심신안정을 취할 수 있도록 돕고

습식사료를 섭취할 수 있도록 해야한다네요.

화장실도 청결을 유지해야한다고 하는데, 저희의 경우에는 화장실이 변기에 설치한 리터라 좀 더 수월하게 할 수 있을 것 같습니다.

제가 지켜본 고양이 방광염 증상은

소변을 흘리고 다니거나 소변에 피가 섞여서 분홍 빛을 띕니다.

그리고 소변을 볼 때 평소보다 지나치게 오래 있고, 자주 화장실을 들락날락 하네요.

마지막으로 소변을 볼 때 평소와 다르게 등이 구부러진 자세를 취해서 왜 저렇게 불편하게 볼일을 볼까...생각됩니다.

알아본 바로는

고양이의 방광염은 암컷보다는 수컷, 그리고 수컷 중에서도 중성화를 한 수컷에게서 발병율이 높고, 특히 생후 2~6년 사이에 많이 나타나게 된다고 합니다. 방광염의 원인으로는 비만과 스트레스, 화장실 청결상태, 수분섭취 부족 등 다양한 요인에 의해 발병하게 된다고 하네요.

심한 경우에는 방광복개술을 진행해서 수술비가 50~100만원 가까이 나온다고 합니다.

수술비도 그렇지만 방치하게 되면 심한 통증을 겪게 되기 때문에 초기 치료가 매우 중요하다고 하네요!

산모일 때는 매우 민감해지기 때문에 최대한 편안하게 해주고

병원을 왕래할 때도 꼭 캐리어를 통해 어미묘가 놀라는 일을 최소화 해주어야 합니다.

앞서 말씀드린대로 다행히도 시바와 아깽이들 모두 건강하다고 하지만

좀 더 아껴주고 사랑해줘야겠네요ㅠ

2017/04/19 - [Cyong's Pet] - 고양이 교배 두번째 후기 - 초음파검사 및 임신증상

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