함수 y=f(x)가 x=a 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 변하면 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, 그때의 함수값 f(a)를 극대값이라고 합니다.
반대로
함수 y=f(x)가 x=b 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 변하면 f(x)는 x=b에서 극소라 하고, 그때의 함수값 f(b)를 극소값이라고 합니다.
극대값과 극소값을 통틀어 극값이라고 합니다.
함수f(x)가 x=a에서 미분가능하고, f(a)가 극대값이라고 하면 충분히 작은 |h|에 대하여 아래와 같은 식이 성립합니다.
h>0일 때,
h<0일 때,
그런데 함수 f(x)는 x=a 에서 미분가능하므로
마찬가지 방법으로 함수 f(x)가 x=a에서 극소인 경우에도 f'(a)=0 임을 보일 수 있습니다.
이 때,
미분가능한 함수 f(x) 에 대하여 f'(a)=0 이라고해서 f(x)가 x=a에서 반드시 극값을 가지는 것은 아닙니다.
대표적인 예로 함수 f(x)=x³를 들 수 있습니다.
f(x)=x³ 에서 f'(0)=0 이지만
x≠0 일 때
f'(x)=3x²>0.
즉, x=0 의 좌우에서 f'(x)>0 이므로 항상 증가하는 상태에 있습니다.
또한
함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지더라도 f'(a)=0 이 성립하지 않을 수도 있습니다.
대표적인 예로 함수 f(x)=|x|를 들 수 있습니다.
f(x)=|x| 는 x=0 일 때 극소이지만 f'(0)이 존재하지 않습니다.
미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 극값의 정의에 의하여 x=a의 좌우에서 함수의 증가상태와 감소상태가 바뀌므로 도함수 f'(x)의 부호가 바뀝니다. 이 때, f'(x)의 부호의 변화를 그래프로 알아보면 아래와 같습니다.
미분가능한 함수 f(x)에서 f'(a)=0 일 때, x=a 의 좌우에서
ⓐ f'(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이고 극대값을 f(a)를 가집니다.
ⓑ f'(x)의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이고 극소값을 f(a)를 가집니다.
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이므로 구하는 접선의 방정식은 
에서 x₁=r , y₁=0 또는 x₁=-r, y₁=0을 대입한 것과 같습니다.
의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.
의 양변에 자연로그를 취하면
의 도함수는 
이므로
의 도함수는
에서
의 도함수를 구해봅시다.
