D.M.숑스토리

무리수 e

자연수 n의 값이 한없이 커지면 

의 값은 일정한 수에 수렴할 것으로 보입니다.

실제로 n이 실수일 때도

의 값은 존재하며,

그 극한값을 문자e로 나타냅니다.

이때, 수 e는 무리수이며, 그 값은 다음과 같습니다.

한편,

이라고 하면

n→∞일 때, x→0 이므로 

무리수 e는 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

자연로그함수

앞서 정의한 무리수 e를 밑으로 하는 로그함수를 자연로그라고 하며,

무리수 e를 자연로그의 밑이라고 합니다.

이때,

자연로그는

로 나타냅니다.

함수

에서 x=1 이면 분모가 0이 되므로

x=1의 함숫값 f(1)은 정의되지 않습니다.

하지만 x≠1이면

이므로

x가 1이 아닌 값을 가지면서 1에 한없이 가까워지면

함숫값 f(x)는 2에 한없이 가까워집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서

x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고,

α를 x→a 일 때의 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라고 하며,

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.

특히

 상수함수 f(x)=c(c는 상수)는

모든 x의 값에 대하여 함수값이 항상 c이므로

a의 값에 관계없이

가 성립합니다.

함수

에서 x의 값이 한없이 커지면

f(x)의 값이 0에 한없이 가까워지고

x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때에도

f(x)의 값은 0에 한없이 가까워집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 한없이 커질 때 

함수값 f(x)가 일정한 값 α에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고

기호로는

또는

x→∞ 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.

또, x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가 일정한 값 β에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 β에 수렴한다고 하고

기호로는

또는

x→-∞ 일 때, f(x)→β

와 같이 나타냅니다.

함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

f(x)의 값은 한없이 커집니다.

마찬가지로, 함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

g(x)의 값은 음수이고 그 절댓값은 한없이 커집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 한없이 커지면

f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 말하고 

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→∞

와 같이 나타냅니다.

또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 음수이고 그 절대값이 한없이 커지면

f(x)는 음의 무한대로 발산한다고 말하고 

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→-∞

와 같이 나타냅니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이

한없이 커지거나, 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하면 

기호로

와 같이 나타냅니다.