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2017/05/02 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 기울기의 증가와 감소 그리고 변곡점

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

에서 알수 있듯이

함수 y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이면 이 구간에서 f(x)는 반드시 최대값과 최소값을 갖습니다.

구간 [a,b] 에서 함수 y=f(x)의 최대값과 최소값을 구하기 위해서는

이 구간에서 함수 y=f(x)의 극대값과 극소값 및 양 끝점의 함수값 f(a), f(b) 을 비교하여

그 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으면 됩니다.

case1) 양끝점이 모두 최솟값, 최댓값인 경우

case2) 극솟값이 최솟값인 경우

case3) 극대값과 극솟값이 최솟값, 최댓값인 경우

2017/05/02 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 기울기의 증가와 감소 그리고 변곡점

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/08 - [Cyong's Mathmatics] - 다양한 함수의 연속성

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

곡선 y=f(x) 가 어떤 구간에서

f''(x)>0 이면 x가 증가할 때 f'(x)는 증가하므로 접선의 기울기는 증가합니다.

이 때,

곡선 y=f(x) 는 이 구간에서 아래로 볼록 또는 위로 오목이라고 합니다.

또,

곡선 y=f(x) 가 어떤 구간에서

f''(x)<0 이면 x가 증가할 때 f'(x)는 감소하므로 접선의 기울기는 감소합니다.

이 때,

곡선 y=f(x) 는 이 구간에서 위로 볼록 또는 아래로 오목이라고 합니다.

곡선 y=f(x) 위에 있는 한 점의 좌우에서 곡선이 오목에서 볼록으로, 또는 볼록에서 오목으로 바뀔 때, 이 점을 변곡점이라고 합니다.

다시말해 f''(x)=0 이고, x=a 의 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀌면 점(a,f(a))는 함수 y=f(x)의 변곡점입니다.

아래 그림에서 점(a,f(a))가 함수 y=f(x)의 변곡점입니다.

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

2017/04/13 - [Cyong's Mathmatics] - 미분가능성과 연속성

함수 y=f(x)가 x=a 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 변하면 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, 그때의 함수값 f(a)를 극대값이라고 합니다.

반대로

함수 y=f(x)가 x=b 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 변하면 f(x)는 x=b에서 극소라 하고, 그때의 함수값 f(b)를 극소값이라고 합니다.

극대값과 극소값을 통틀어 극값이라고 합니다.

함수f(x)가 x=a에서 미분가능하고, f(a)가 극대값이라고 하면 충분히 작은 |h|에 대하여 아래와 같은 식이 성립합니다.

h>0일 때,

h<0일 때,

그런데 함수 f(x)는 x=a 에서 미분가능하므로

마찬가지 방법으로 함수 f(x)가 x=a에서 극소인 경우에도 f'(a)=0 임을 보일 수 있습니다.

이 때,

미분가능한 함수 f(x) 에 대하여 f'(a)=0 이라고해서 f(x)가 x=a에서 반드시 극값을 가지는 것은 아닙니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=x³를 들 수 있습니다.

 f(x)=x³ 에서 f'(0)=0 이지만

x≠0 일 때

f'(x)=3x²>0.

즉, x=0 의 좌우에서 f'(x)>0 이므로 항상 증가하는 상태에 있습니다.

또한

함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지더라도 f'(a)=0 이 성립하지 않을 수도 있습니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=|x|를 들 수 있습니다.

 f(x)=|x| 는 x=0 일 때 극소이지만 f'(0)이 존재하지 않습니다.

미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 극값의 정의에 의하여 x=a의 좌우에서 함수의 증가상태와 감소상태가 바뀌므로 도함수 f'(x)의 부호가 바뀝니다. 이 때, f'(x)의 부호의 변화를 그래프로 알아보면 아래와 같습니다.

미분가능한 함수 f(x)에서 f'(a)=0 일 때, x=a 의 좌우에서

ⓐ f'(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이고 극대값을 f(a)를 가집니다.

ⓑ f'(x)의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이고 극소값을 f(a)를 가집니다.

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/29 - [Cyong's Mathmatics] - 평균값의 정리

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

2017/04/13 - [Cyong's Mathmatics] - 미분가능성과 연속성

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

함수 f(x)가 어떤 구간의 임의의 x의 값 x₁, x₂에 대하여

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) < f(x₂) 이면

f(x)는 그 구간에서 증가한다고 합니다.

한편,

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) > f(x₂) 이면

최대값 ㆍ 최소값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면

이 함수는 닫힌 구간 [a,b] 에서

반드시

최댓값과 최솟값을 가집니다.

중간값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)≠f(b) 이면,

f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 값 k에 대하여

f(c)=k

인 실수 c가 a, b 사이에 적어도 하나는 존재합니다.

중간값의 정리의 활용

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르면,

(즉, f(a)f(b)<0 이면)

중간값의 정리에 의하여 

f(x)=0

은 a, b 사이에 적어도 하나의 실근을 가집니다.

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/08 - [Cyong's Mathmatics] - 다양한 함수의 연속성

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질