D.M.숑스토리

두함수 f(x), g(x) 가 미분가능할 때,

몫의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

먼저,

함수

에 대하여

그런데 함수 g(x) 는 미분가능한 함수이므로

그리고,

함수

라고 하면

이므로

따라서

여기서 g(x)는 미분가능한 함수이므로 연속입니다.

즉,

이므로

한편,

함수

에 대하여

이므로

두 함수의 곱의 미분법을 이용하면

n이 0 또는 양의 정수일 때,

 의 도함수는

n이 음의 정수일 때,

n=-m (m은양의 정수)이라고 하면

따라서

n이 정수일 때 

 의 도함수는

입니다.

함수 

(n은 양의 정수) 

의 도함수를 구해보면

특히,

상수함수 f(x)=c (c는 상수)의 도함수는

입니다.

미분가능한 두 함수 f(x), g(x) 의 실수배, 합, 차로

이루어진 함수의 도함수를 구해보면 다음과 같습니다.

ⓐ

(단, c는 상수)

ⓑ

ⓒ

ⓑ와 같은 방법으로

미분가능한 두 함수 f(x), g(x)의 곱으로

이뤄진 함수의 도함수도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

미분가능한 함수 g(x) 는 연속함수이기때문에

미분법의 기본 공식

일반적으로 함수 y=f(x) 가 정의역 X 에서 미분가능하면

정의역에 속하는 모든 x 에 대하여

미분계수 f'(x) 를 대응시키는 새로운 함수

f':x → f'(x)

즉,

가 존재합니다.

이 때,

함수 f'(x) 를 f(x) 의 도함수라 하고,

이것을 기호로

라고 나타냅니다.

함수 y=f(x) 에서 그 도함수 f'(x) 를 구하는 것을

함수 y=f(x) 를 x 에 대하여 미분한다라고 하고

그 계산법을 미분법이라고 합니다.

함수 y=f(x)의 x=a 에서의 미분가능하다고 한다면

미분계수

가 존재하고 f'(a)는 일정한 값이므로

즉, 함수 y=f(x) 는 x=a 에서 연속입니다.

일반적으로

함수 y=f(x) 는 x=a 에서 미분가능하다고 한다면

y=f(x) 는 x=a 에서 연속입니다.

그러나 그 역은 참이 아닙니다.

지난 포스팅에서 미분계수에 대략적인 내용을 알아보았으니

이번 포스팅에서는 미분계수의 기하학적 의미에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

미분계수의 기하학적 의미

일반적으로 함수 y=f(x) 의 그래프 위의

두 점 P(a,f(a)) , Q(a+Δx,f(a+Δx))

에 대하여 평균변화율

는 직선 PQ 의 기울기를 뜻합니다. 

여기서, 점 P 를 고정하고

Δx 를 0 에 한없이 가까워지게 하면

점 Q 는 그래프 위를 움직이면서 점 A 에 가까워지고,

직선 PQ 는 점 P 를 지나는 직선 PT 에

한없이 가까워짐을 알 수 있습니다.

이때 직선 PT 를 점 P 에서의 곡선 y=f(x) 의 접선이라 하며

점 P 를 접점이라고 합니다.

따라서 Δx→0 일 때, 직선 PQ의 기울기의 극한값인

함수 y=f(x)의 x=a 에서의 미분계수

는 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a)) 에서의

접점 PT의 기울기와 같음을 알 수 있습니다.

2017/04/11 - [Cyong's Mathmatics] - 미분계수

함수 y=f(x) 에서 x의 값이 a에서

a+Δx까지 변할 때의 평균변화율은

여기서

Δx→0 일 때 평균변화율의 극한값

이 존재하면

함수 y=f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 하고

이 극한값을 함수 y=f(x)는 x=a에서의 순간변화율 또는 미분계수라 하며

기호로는

라고 나타냅니다.

또한, 함수 y=f(x) 가 어떤 구간에 속하는 모든 x의 값에서 미분가능 할 때,

함수 y=f(x) 는 그 구간에서 미분가능하다고 합니다.

특히,

함수 y=f(x) 가 정의역에 속하는 모든 x 의 값에서 미분가능할 때,

함수 y=f(x) 는 미분가능한 함수라고 합니다.

한편, a+Δx=x 라고 하면

Δx=x-a 이고, Δx→0  일 때, x→a 이므로

최대값 ㆍ 최소값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면

이 함수는 닫힌 구간 [a,b] 에서

반드시

최댓값과 최솟값을 가집니다.

중간값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)≠f(b) 이면,

f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 값 k에 대하여

f(c)=k

인 실수 c가 a, b 사이에 적어도 하나는 존재합니다.

중간값의 정리의 활용

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르면,

(즉, f(a)f(b)<0 이면)

중간값의 정리에 의하여 

f(x)=0

은 a, b 사이에 적어도 하나의 실근을 가집니다.

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/08 - [Cyong's Mathmatics] - 다양한 함수의 연속성

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

지금까지 구간과 여러 함수의 연속과 불연속에 대해서 배웠습니다.

이번 포스팅에서는 연속함수의 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

연속함수의 성질

어떤 구간에서 두 함수 f(x), g(x)가 연속이면 다음 함수들도 그 구간에서 연속입니다.

ⓐ  (단, c는 상수)

ⓑ 

ⓒ 

ⓓ  (단, g(x)≠0)

증명

두 함수 f(x), g(x)가 모두 x=a에서 연속이면

연속의 정의와 함수의 극한에 대한 성질에 의하여

ⓐ  (단, c는 상수)

ⓑ 

ⓒ 

ⓓ g(x)≠0이면 

이번 포스팅에서는

다항함수, 분수함수, 무리함수, 로그함수, 삼각함수, 합성함수의 연속성에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

↓

x=nπ±π/2에서 불연속. (단, n은 정수)

합성함수

일반적으로

함수 f(x)가 x=a에서 연속이고

함수 g(x)가 x=f(a)에서 연속이면

함성함수 y=(gㆁf)(x)=g(f(x)) 는 x=a에서 연속.

이때,

위의 두 조건 중 어느하나라도 만족하지 않으면

x=a에서 연속이 아닐 수도 있습니다.

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

지난 포스팅에서는 구간에 대해서 알아봤는데요

이번 포스팅에서는 함수의 연속과 불연속에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

그래프에서 쉽게 표현하자면

x=a에서 연결되어 있다면 연속

x=a에서 연결되어 있지 않고 끊어져 있다면 불연속 입니다.

그렇다면

함수가 연속이려면 어떤 조건을 가져야 할까요?

함수의 연속과 불연속

1) x=a에서 연속

함수 f(x)가 실수 a에 대하여

ⓐ

 x=a에서 함수값 f(a)가 정의되고

ⓑ

극한값

가 존재하며

ⓒ

일 때,

함수 f(x)는 x=a 에서 연속이라고 합니다.

2) x=a에서 불연속

함수 f(x)가 실수 a에 대하여

위에 1)x=a에서 연속일 때 가지는 세가지 조건 중

어느 하나라도 만족하지 않을 때,

함수 f(x)는 x=a 에서 불연속이라고 합니다.

3)구간에서의 연속

함수 f(x)가 주어진 구간의 모든 점에서 연속이면

f(x)는 그 구간에서

연속 또는 그 구간에서의 연속함수라고 합니다.

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간