D.M.숑스토리

최대값 ㆍ 최소값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이면

이 함수는 닫힌 구간 [a,b] 에서

반드시

최댓값과 최솟값을 가집니다.

중간값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)≠f(b) 이면,

f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 값 k에 대하여

f(c)=k

인 실수 c가 a, b 사이에 적어도 하나는 존재합니다.

중간값의 정리의 활용

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b] 에서 연속이고

f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르면,

(즉, f(a)f(b)<0 이면)

중간값의 정리에 의하여 

f(x)=0

은 a, b 사이에 적어도 하나의 실근을 가집니다.

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/08 - [Cyong's Mathmatics] - 다양한 함수의 연속성

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

지금까지 구간과 여러 함수의 연속과 불연속에 대해서 배웠습니다.

이번 포스팅에서는 연속함수의 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

연속함수의 성질

어떤 구간에서 두 함수 f(x), g(x)가 연속이면 다음 함수들도 그 구간에서 연속입니다.

ⓐ  (단, c는 상수)

ⓑ 

ⓒ 

ⓓ  (단, g(x)≠0)

증명

두 함수 f(x), g(x)가 모두 x=a에서 연속이면

연속의 정의와 함수의 극한에 대한 성질에 의하여

ⓐ  (단, c는 상수)

ⓑ 

ⓒ 

ⓓ g(x)≠0이면 

이번 포스팅에서는

다항함수, 분수함수, 무리함수, 로그함수, 삼각함수, 합성함수의 연속성에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

↓

x=nπ±π/2에서 불연속. (단, n은 정수)

합성함수

일반적으로

함수 f(x)가 x=a에서 연속이고

함수 g(x)가 x=f(a)에서 연속이면

함성함수 y=(gㆁf)(x)=g(f(x)) 는 x=a에서 연속.

이때,

위의 두 조건 중 어느하나라도 만족하지 않으면

x=a에서 연속이 아닐 수도 있습니다.

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

지난 포스팅에서는 구간에 대해서 알아봤는데요

이번 포스팅에서는 함수의 연속과 불연속에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

그래프에서 쉽게 표현하자면

x=a에서 연결되어 있다면 연속

x=a에서 연결되어 있지 않고 끊어져 있다면 불연속 입니다.

그렇다면

함수가 연속이려면 어떤 조건을 가져야 할까요?

함수의 연속과 불연속

1) x=a에서 연속

함수 f(x)가 실수 a에 대하여

ⓐ

 x=a에서 함수값 f(a)가 정의되고

ⓑ

극한값

가 존재하며

ⓒ

일 때,

함수 f(x)는 x=a 에서 연속이라고 합니다.

2) x=a에서 불연속

함수 f(x)가 실수 a에 대하여

위에 1)x=a에서 연속일 때 가지는 세가지 조건 중

어느 하나라도 만족하지 않을 때,

함수 f(x)는 x=a 에서 불연속이라고 합니다.

3)구간에서의 연속

함수 f(x)가 주어진 구간의 모든 점에서 연속이면

f(x)는 그 구간에서

연속 또는 그 구간에서의 연속함수라고 합니다.

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간