D.M.숑스토리

부정적분의 치환적분법에서 x=g(t)로 놓으면

여기서

라고 하면

또, x=g(t) 에서 a=g(α), b=g(β)라 하면

따라서

x=g(t)가 미분가능하고, a=g(α), b=g(β)라 하면

2017/05/10 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 성질

2017/05/11 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 활용-넓이편

2017/05/12 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 활용-부피편

2017/05/13 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분의 치환적분

일반적으로 부정적분

에서 x를 다른 변수 t의 함수 x=g(t)로 놓으면 F(x)=F(g(t))가 됩니다.

F(x)를 t에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의하여

따라서

이와 같이 x=g(t)로 놓아 변수 x를 t의 함수로 치환하여 적분하는 방법을 치환적분법이라고 합니다.

치환적분법을 이용하여 부정적분

를 구해보도록 하겠습니다.

u=f(x)로 놓으면

이므로

따라서 아래와 같은 공식이 성립합니다.

2017/05/07 - [Cyong's Mathmatics] - 여러 가지 함수의 부정적분

2017/05/05 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분

2017/05/04 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분의 기본 성질

정적분을 통해서 여러가지를 구할 수 있습니다.

그 두번째 시간! 바로 그래프의 부피입니다.

아래의 그림과 같이 어떤 입체도형이 주어져 있고 한 직선을 x축으로 정하였을 때,

 x좌표가 a, b인 두 점을 지나 x축에 수직인 두 평면 사이에 있는 부분의 부피를 구해보도록 하겠습니다.

x축 위의 구간 [a,b]를 n등분하여 양 끝점과 분점을 차례로

라 하고, 소구간의 길이를 Δx라고 합시다.

또, 좌표가 인 점을 지나 x축에 수직인 평면으로 입체를 잘랐을 때,

생기는 단면의 넓이를 라고 하면, 밑면의 넓이가 이고 높이가 Δx인 k번째 기둥의 부피는 이므로 n개의 기둥의 부피의 합

따라서 구하는 입체의 부피 V는 구분구적법과 정정분의 정의에 의하여

함수 f(x)가 구간[a,b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)를 x축의 둘레로 회전시켜서 생기는 회전체의 부피V를 구해보도록 하겠습니다.

위의 그림과 같이 x좌표가 x인 점을 지나 x축에 수직인 평면으로 이 회전체를 자르면, 그 단면은 반지름의 길이가 |y|인 원이 됩니다.

그 단면의 넓이를 S(x)라고 하면

따라서, 구하는 회전체의 부피

마찬가지로 구간 [c,d]에서 곡선 x=g(y)를 y축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 같은 방법으로 구하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

2017/05/11 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 활용-넓이편

2017/05/08 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 정의

2017/05/09 - [Cyong's Mathmatics] - 미적분학의 기본 정리

2017/05/10 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 성질

정적분을 통해서 여러가지를 구할 수 있습니다.

그 첫번째가 바로 그래프의 넓이입니다.

㈀ 구간 [a,b]에서 f(x)≥0 일 때,

㈁ 구간 [a,b]에서 f(x)≤0 일 때,

곡선 y=f(x)는 y=-f(x)와 x축에 대하여 대칭이고 -f(x)≥0 이므로

㈂  구간 [a,c]에서 f(x)≤0 이고, 구간 [c,b]에서 f(x)≥0 일 때,

곡선과 y축 사이의 넓이는 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 때와 같이 생각하여 구하면 됩니다.

즉, x=g(y)가 구간[c,d]에서 g(y)≥0 이면 곡선 x=g(y)와 y축 및 두 직선 y=c, y=d로 둘러싸인 도형의 넓이

g(y)≤0 일 때의 넓이는 앞에서와 같이

따라서 아래 그림과 같이 x=g(y)가 주어질 때 구간[c,d]에서 곡선 x=g(y)와 y축 사이의 넓이

2017/05/10 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 성질

2017/05/09 - [Cyong's Mathmatics] - 미적분학의 기본 정리

2017/05/08 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 정의

두 함수 f(x), g(x)의 부정적분을 각각 F(x), G(x)라고 하면

와 같은 정적분의 성질을 가집니다.

2017/05/05 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분

2017/05/04 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분의 기본 성질

2017/05/07 - [Cyong's Mathmatics] - 여러 가지 함수의 부정적분

2017/05/09 - [Cyong's Mathmatics] - 미적분학의 기본 정리

2017/05/08 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 정의

함수 y=f(t)가 구간 [a,b]에서 연속이고 f(t)≥0 이라고 하면

아래 그림과 같이 구간 [a,b]에 속하는 임의의 x에 대하여 a에서 x까지의 곡선 y=f(t)와 t축 사이의 넓이를 S(x)라 하면

이 때, x의 증분 Δx(Δx>0)에 대하여 S(x)의 증분을 ΔS라고 하면

ΔS=S(x+Δx)-S(x).

한편,

구간 [x,x+Δx]에서 함수 f(t)는 연속이므로 최대값과 최소값을 각각 M,m이라고 하면

mΔx≤ΔS≤MΔx

여기서 Δx→0 이면

함수 f(t)는 [a,b]에서 연속함수이므로

Δx→0 이면 m→f(x), M→f(x)

적분과 미분의 관계에서 S'(x)=f(x)이므로 S(x)는 f(x)의 부정적분입니다.

여기서 f(x)의 또 다른 부정적분의 하나를 F(x)라고 하면 아래와 같은 식이 성립합니다

(C는 적분상수)……ⓐ

S(x)의 정의에 의하여 x=a이면 S(a)=0이므로 ⓐ에서

이것을 ⓐ에 대입하면

이 식에 x=b(a<b)를 대입하고 적분변수 t를 x로 바꾸면

……ⓑ

이 것을 정적분의 기본 정리라고 합니다.

이때 ⓑ의 우변 F(b)-F(a)를 기호로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

지금까지는 a<b 일 때

정적분 를 정의하였으나,

a=b, a>b일 때에는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

위의 정의에 의하여 a>b이고 F'(x)=f(x)일 때,

따라서 정적분의 기본정리는 아래끝, 위끝의 대소에 관계없이 항상 성립한다.■

2017/05/08 - [Cyong's Mathmatics] - 정적분의 정의

2017/05/07 - [Cyong's Mathmatics] - 여러 가지 함수의 부정적분

2017/05/05 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분

2017/05/04 - [Cyong's Mathmatics] - 부정적분의 기본 성질

앞선 포스팅에

2017/05/02 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 기울기의 증가와 감소 그리고 변곡점

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

에서 알수 있듯이

함수 y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이면 이 구간에서 f(x)는 반드시 최대값과 최소값을 갖습니다.

구간 [a,b] 에서 함수 y=f(x)의 최대값과 최소값을 구하기 위해서는

이 구간에서 함수 y=f(x)의 극대값과 극소값 및 양 끝점의 함수값 f(a), f(b) 을 비교하여

그 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으면 됩니다.

case1) 양끝점이 모두 최솟값, 최댓값인 경우

case2) 극솟값이 최솟값인 경우

case3) 극대값과 극솟값이 최솟값, 최댓값인 경우

2017/05/02 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 기울기의 증가와 감소 그리고 변곡점

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/08 - [Cyong's Mathmatics] - 다양한 함수의 연속성

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

곡선 y=f(x) 가 어떤 구간에서

f''(x)>0 이면 x가 증가할 때 f'(x)는 증가하므로 접선의 기울기는 증가합니다.

이 때,

곡선 y=f(x) 는 이 구간에서 아래로 볼록 또는 위로 오목이라고 합니다.

또,

곡선 y=f(x) 가 어떤 구간에서

f''(x)<0 이면 x가 증가할 때 f'(x)는 감소하므로 접선의 기울기는 감소합니다.

이 때,

곡선 y=f(x) 는 이 구간에서 위로 볼록 또는 아래로 오목이라고 합니다.

곡선 y=f(x) 위에 있는 한 점의 좌우에서 곡선이 오목에서 볼록으로, 또는 볼록에서 오목으로 바뀔 때, 이 점을 변곡점이라고 합니다.

다시말해 f''(x)=0 이고, x=a 의 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀌면 점(a,f(a))는 함수 y=f(x)의 변곡점입니다.

아래 그림에서 점(a,f(a))가 함수 y=f(x)의 변곡점입니다.

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

2017/04/13 - [Cyong's Mathmatics] - 미분가능성과 연속성

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 그 구간에서 최대값과 최소값을 갖습니다.

이성질로부터 롤의 정리가 성립합니다.

롤의 정리

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린 구간(a,b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면 f'(c)=0 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

롤의 정리 증명

ⓐ y=f(x)가 상수함수인 경우

열린 구간 (a,b)에 속하는 모든 점 c에서 f'(c)=0 입니다.

ⓑ y=f(x)가 상수함수가 아닌 경우

f(a)=f(b)이므로 양 끝점을 제외한 점 x=c에서 최대값 또는 최소값을 가집니다.

⑴x=c 에서 최대값 f(c)를 가질 때

f(c+Δx)-f(c)≤0 이므로

이 성립합니다.

한편, 함수 f(x)는 x=c 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

따라서 

⑵ x=c 에서 최소값 f(c)를 가질 때

⑴와 같은 방법으로 f'(c)=0. □

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/10 - [Cyong's Mathmatics] - 최대값, 최소값, 중간값의 정리

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

이번 포스팅에서는

다항함수, 분수함수, 무리함수, 로그함수, 삼각함수, 합성함수의 연속성에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

↓

x=nπ±π/2에서 불연속. (단, n은 정수)

합성함수

일반적으로

함수 f(x)가 x=a에서 연속이고

함수 g(x)가 x=f(a)에서 연속이면

함성함수 y=(gㆁf)(x)=g(f(x)) 는 x=a에서 연속.

이때,

위의 두 조건 중 어느하나라도 만족하지 않으면

x=a에서 연속이 아닐 수도 있습니다.

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속