D.M.숑스토리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 그 구간에서 최대값과 최소값을 갖습니다.

이성질로부터 롤의 정리가 성립합니다.

롤의 정리

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린 구간(a,b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면 f'(c)=0 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

롤의 정리 증명

ⓐ y=f(x)가 상수함수인 경우

열린 구간 (a,b)에 속하는 모든 점 c에서 f'(c)=0 입니다.

ⓑ y=f(x)가 상수함수가 아닌 경우

f(a)=f(b)이므로 양 끝점을 제외한 점 x=c에서 최대값 또는 최소값을 가집니다.

⑴x=c 에서 최대값 f(c)를 가질 때

f(c+Δx)-f(c)≤0 이므로

이 성립합니다.

한편, 함수 f(x)는 x=c 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

따라서 

⑵ x=c 에서 최소값 f(c)를 가질 때

⑴와 같은 방법으로 f'(c)=0. □

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/10 - [Cyong's Mathmatics] - 최대값, 최소값, 중간값의 정리

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

두함수 f(x), g(x) 가 미분가능할 때,

몫의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

먼저,

함수

에 대하여

그런데 함수 g(x) 는 미분가능한 함수이므로

그리고,

함수

라고 하면

이므로

따라서

여기서 g(x)는 미분가능한 함수이므로 연속입니다.

즉,

이므로

한편,

함수

에 대하여

이므로

두 함수의 곱의 미분법을 이용하면

n이 0 또는 양의 정수일 때,

 의 도함수는

n이 음의 정수일 때,

n=-m (m은양의 정수)이라고 하면

따라서

n이 정수일 때 

 의 도함수는

입니다.

함수 

(n은 양의 정수) 

의 도함수를 구해보면

특히,

상수함수 f(x)=c (c는 상수)의 도함수는

입니다.

미분가능한 두 함수 f(x), g(x) 의 실수배, 합, 차로

이루어진 함수의 도함수를 구해보면 다음과 같습니다.

ⓐ

(단, c는 상수)

ⓑ

ⓒ

ⓑ와 같은 방법으로

미분가능한 두 함수 f(x), g(x)의 곱으로

이뤄진 함수의 도함수도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

미분가능한 함수 g(x) 는 연속함수이기때문에

미분법의 기본 공식

지금까지 구간과 여러 함수의 연속과 불연속에 대해서 배웠습니다.

이번 포스팅에서는 연속함수의 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

연속함수의 성질

어떤 구간에서 두 함수 f(x), g(x)가 연속이면 다음 함수들도 그 구간에서 연속입니다.

ⓐ  (단, c는 상수)

ⓑ 

ⓒ 

ⓓ  (단, g(x)≠0)

증명

두 함수 f(x), g(x)가 모두 x=a에서 연속이면

연속의 정의와 함수의 극한에 대한 성질에 의하여

ⓐ  (단, c는 상수)

ⓑ 

ⓒ 

ⓓ g(x)≠0이면