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2017/05/02 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 기울기의 증가와 감소 그리고 변곡점

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

에서 알수 있듯이

함수 y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이면 이 구간에서 f(x)는 반드시 최대값과 최소값을 갖습니다.

구간 [a,b] 에서 함수 y=f(x)의 최대값과 최소값을 구하기 위해서는

이 구간에서 함수 y=f(x)의 극대값과 극소값 및 양 끝점의 함수값 f(a), f(b) 을 비교하여

그 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으면 됩니다.

case1) 양끝점이 모두 최솟값, 최댓값인 경우

case2) 극솟값이 최솟값인 경우

case3) 극대값과 극솟값이 최솟값, 최댓값인 경우

2017/05/02 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 기울기의 증가와 감소 그리고 변곡점

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/08 - [Cyong's Mathmatics] - 다양한 함수의 연속성

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

곡선 y=f(x) 가 어떤 구간에서

f''(x)>0 이면 x가 증가할 때 f'(x)는 증가하므로 접선의 기울기는 증가합니다.

이 때,

곡선 y=f(x) 는 이 구간에서 아래로 볼록 또는 위로 오목이라고 합니다.

또,

곡선 y=f(x) 가 어떤 구간에서

f''(x)<0 이면 x가 증가할 때 f'(x)는 감소하므로 접선의 기울기는 감소합니다.

이 때,

곡선 y=f(x) 는 이 구간에서 위로 볼록 또는 아래로 오목이라고 합니다.

곡선 y=f(x) 위에 있는 한 점의 좌우에서 곡선이 오목에서 볼록으로, 또는 볼록에서 오목으로 바뀔 때, 이 점을 변곡점이라고 합니다.

다시말해 f''(x)=0 이고, x=a 의 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀌면 점(a,f(a))는 함수 y=f(x)의 변곡점입니다.

아래 그림에서 점(a,f(a))가 함수 y=f(x)의 변곡점입니다.

2017/05/01 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극대와 극소

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

2017/04/13 - [Cyong's Mathmatics] - 미분가능성과 연속성

함수 y=f(x)가 x=a 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 변하면 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, 그때의 함수값 f(a)를 극대값이라고 합니다.

반대로

함수 y=f(x)가 x=b 에서 연속이고 x가 증가하면서 x=a 의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 변하면 f(x)는 x=b에서 극소라 하고, 그때의 함수값 f(b)를 극소값이라고 합니다.

극대값과 극소값을 통틀어 극값이라고 합니다.

함수f(x)가 x=a에서 미분가능하고, f(a)가 극대값이라고 하면 충분히 작은 |h|에 대하여 아래와 같은 식이 성립합니다.

h>0일 때,

h<0일 때,

그런데 함수 f(x)는 x=a 에서 미분가능하므로

마찬가지 방법으로 함수 f(x)가 x=a에서 극소인 경우에도 f'(a)=0 임을 보일 수 있습니다.

이 때,

미분가능한 함수 f(x) 에 대하여 f'(a)=0 이라고해서 f(x)가 x=a에서 반드시 극값을 가지는 것은 아닙니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=x³를 들 수 있습니다.

 f(x)=x³ 에서 f'(0)=0 이지만

x≠0 일 때

f'(x)=3x²>0.

즉, x=0 의 좌우에서 f'(x)>0 이므로 항상 증가하는 상태에 있습니다.

또한

함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지더라도 f'(a)=0 이 성립하지 않을 수도 있습니다.

대표적인 예로 함수 f(x)=|x|를 들 수 있습니다.

 f(x)=|x| 는 x=0 일 때 극소이지만 f'(0)이 존재하지 않습니다.

미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 극값의 정의에 의하여 x=a의 좌우에서 함수의 증가상태와 감소상태가 바뀌므로 도함수 f'(x)의 부호가 바뀝니다. 이 때, f'(x)의 부호의 변화를 그래프로 알아보면 아래와 같습니다.

미분가능한 함수 f(x)에서 f'(a)=0 일 때, x=a 의 좌우에서

ⓐ f'(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이고 극대값을 f(a)를 가집니다.

ⓑ f'(x)의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이고 극소값을 f(a)를 가집니다.

2017/04/30 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 증가와 감소

2017/04/29 - [Cyong's Mathmatics] - 평균값의 정리

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/14 - [Cyong's Mathmatics] - 도함수의 정의

2017/04/13 - [Cyong's Mathmatics] - 미분가능성과 연속성

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

함수 f(x)가 어떤 구간의 임의의 x의 값 x₁, x₂에 대하여

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) < f(x₂) 이면

f(x)는 그 구간에서 증가한다고 합니다.

한편,

x₁ < x₂ 일 때, f(x₁) > f(x₂) 이면

롤의 정리를 일반화한 것이 평균값의 정리입니다.

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

오늘은 평균값 정리에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능할 때

가 되는 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재하는데, 이를 평균값 정리라고 합니다.

두 점 (a,f(a)), (b,f(b))를 지나는 직선의 방정식을 y=g(x)라고 하면

이 때, 함수 h(x)=f(x)-g(x) 라고 하면 h(x)는 열린 구간 (a,b) 에서 미분가능하며

h(a)=h(b)=0

입니다.

따라서 롤의 정리에 의하여

인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

즉,

인 c가 열린 구간 (a,b) 안에 적어도 하나 존재합니다.

평균값의 정리의 뜻을 함수의 그래프를 통해서 살펴보면,

평균값의 정리에서

는 곡선 y=f(x) 위의 두 점 A(a,f(a)), B(b,f(b)) 를 지나는 직선의 기울기를 나타냅니다.

따라서 평균값의 정리는 열린 구간 (a,b)에서 직선AB와 평행한 곡선 y=f(x) 의 접선이 적어도 하나 존재함을 의미합니다.

2017/04/28 - [Cyong's Mathmatics] - 롤의 정리

2017/04/27 - [Cyong's Mathmatics] - 접선의 방정식

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/09 - [Cyong's Mathmatics] - 연속함수의 성질

2017/04/10 - [Cyong's Mathmatics] - 최대값, 최소값, 중간값의 정리

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 그 구간에서 최대값과 최소값을 갖습니다.

이성질로부터 롤의 정리가 성립합니다.

롤의 정리

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고, 열린 구간(a,b)에서 미분가능할 때, f(a)=f(b)이면 f'(c)=0 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재합니다.

롤의 정리 증명

ⓐ y=f(x)가 상수함수인 경우

열린 구간 (a,b)에 속하는 모든 점 c에서 f'(c)=0 입니다.

ⓑ y=f(x)가 상수함수가 아닌 경우

f(a)=f(b)이므로 양 끝점을 제외한 점 x=c에서 최대값 또는 최소값을 가집니다.

⑴x=c 에서 최대값 f(c)를 가질 때

f(c+Δx)-f(c)≤0 이므로

이 성립합니다.

한편, 함수 f(x)는 x=c 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

따라서 

⑵ x=c 에서 최소값 f(c)를 가질 때

⑴와 같은 방법으로 f'(c)=0. □

2017/04/06 - [Cyong's Mathmatics] - 열린구간과 닫힌 구간, 반열린구간

2017/04/07 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 연속과 불연속

2017/04/10 - [Cyong's Mathmatics] - 최대값, 최소값, 중간값의 정리

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f'(a)와 같습니다.

따라서 곡선 y=f(x) 위의 한 점 P에서의 접선은 점 P(a,f(a))를 지나고 기울기가 f'(a)인 직선이므로 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

원 x²+y²=r² 위의 점 P(x₁,y₁)에서의 접선의 방정식은 원의 성질 또는 이차방정식의 판별식을 이용하면 구할 수 있습니다.

앞서 배웠던 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식을 구해보도록 하겠습니다.

원 x²+y²=r² 의 양변을 x 에 대하여 미분하면

(단, y≠0)

ⓐ y₁≠0 일 때, 점 P(x₁,y₁) 에서의 접선의 기울기는 

입니다.

따라서 점 P에서의 접선의 방정식은

양변에 y₁을 곱하여 정리하면

그런데

 이므로 구하는 접선의 방정식은 

입니다.

ⓑ  y₁=0 일 때, x₁=r 또는 x₁=-r

따라서 접선의 방정식은 x=r 또는 x=-r

그런데 이 방정식은  에서 x₁=r , y₁=0 또는  x₁=-r, y₁=0을 대입한 것과 같습니다.

따라서 원 x²+y²=r² 위의 점 P(x₁,y₁) 에서의 접선의 방정식은

지난 포스팅에서 다루었던 로그함수 미번법을 이용하여

지수함수 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

의 양변에 자연로그를 취하면

양번을 x에 대하여 미분하면

특히, 함수 의 도함수는 이므로

2017/04/25 - [Cyong's Mathmatics] - 로그함수의 도함수

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

도함수의 정의에 의하여

여기서,

로 놓으면

Δx→0일 때 h→0 이므로

한편, a>0, a≠1 일 때

로그함수가 y=ln|x| 일 때

ⓐ x>0 일 때,  y=ln|x|=lnx 이므로

ⓑ x<0 일 때,  y=ln|x|=ln(-x) 이므로

따라서 ⓐ, ⓑ에 의하여

한편, 

의 도함수는

이제

함수 f(x)가 미분가능한 함수일  때, 합성함수의 미분법을 이용하여

로그함수가 y=ln|f(x)| 의 도함수를 구해보도록 하겠습니다.

ⓒ f(x)>0 일 때,  |f(x)|=f(x) 이므로

u=f(x)라 하면 y=lnf(x)=lnu

ⓓ  f(x)<0 일 때,  |f(x)|=-f(x) 이므로

u=-f(x)라 하면 y=ln{-f(x)}=lnu

따라서 ⓒ, ⓓ에 의하여

일반적으로 로그함수 에서

f(x)가 미분가능하고 f(x)≠0 일 때,

이므로 합성함수의 미분법에 의하여

이것을 활용해서

로그함수의 미분법을 이용하여 α가 실수일 때,

 함수 의 도함수를 구해봅시다.

 함수 에서 양변에 절대값에 자연로그를 취하면

양변을 x에 대하여 미분하면

2017/04/21 - [Cyong's Mathmatics] - 매개변수와 매개변수함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/05 - [Cyong's Mathmatics] - 무리수 e 와 자연로그함수

2017/04/04 - [Cyong's Mathmatics] - 지수함수와 로그함수의 극한

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

다양한 삼각함수의 도함수에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

ⓐ 삼각함수 y=sinx 의 도함수

도함수의 정의에 의하여

삼각함수의 차를 곱으로 고치는 공식에 의하여

이므로

또한,

따라서, (sinx)'=cosx 입니다.

ⓑ 삼각함수 y=cosx 의 도함수

도함수의 정의에 의하여

삼각함수의 차를 곱으로 고치는 공식에 의하여

이므로

또한,

그리고

이므로 합성함수의 미분에 의하여

따라서, (cosx)'=-sinx 입니다.

ⓒ 삼각함수 y=tanx 의 도함수

이므로, 몫의 미분법에 의하여

 ⓓ 삼각함수 y=secx 의 도함수

이므로, 몫의 미분법에 의하여

 ⓔ 삼각함수 y=cosecx 의 도함수

이므로, 몫의 미분법에 의하여

 ⓕ 삼각함수 y=cotanx 의 도함수

이므로, 몫의 미분법에 의하여

삼각함수의 도함수

2017/04/23 - [Cyong's Mathmatics] - 역함수의 미분법

2017/04/22 - [Cyong's Mathmatics] - 음함수의 미분법

2017/04/17 - [Cyong's Mathmatics] - 함성함수의 미분법

2017/04/16 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 미분법

2017/04/15 - [Cyong's Mathmatics] - 미분법의 기본 공식

2017/04/03 - [Cyong's Mathmatics] - 삼각함수의 극한

2017/04/01 - [Cyong's Mathmatics] - 삼각함수의 여러가지 공식

2017/04/01 - [Cyong's Mathmatics] - 삼각함수의 합성

2017/04/01 - [Cyong's Mathmatics] - 삼각함수의 덧셈정리