D.M.숑스토리

무리수 e

자연수 n의 값이 한없이 커지면 

의 값은 일정한 수에 수렴할 것으로 보입니다.

실제로 n이 실수일 때도

의 값은 존재하며,

그 극한값을 문자e로 나타냅니다.

이때, 수 e는 무리수이며, 그 값은 다음과 같습니다.

한편,

이라고 하면

n→∞일 때, x→0 이므로 

무리수 e는 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

자연로그함수

앞서 정의한 무리수 e를 밑으로 하는 로그함수를 자연로그라고 하며,

무리수 e를 자연로그의 밑이라고 합니다.

이때,

자연로그는

로 나타냅니다.

지수함수의 극한

위의 그래프에서 알 수 있듯이

지수함수

의 극한은 다음과 같습니다.

로그함수의 극한

위의 그래프에서 알 수 있듯이

로그함수

의 극한은 다음과 같습니다.

삼각함수의 극한

(증명)

ⓐ

일 때

위의 그림과 같이

중심이 O인 단위원 위에 ∠AOB=x 인 두 점 A, B를 잡습니다.

점 A에서 원 O 에 그은 접선과 반직선 OB와의 교점을 T라고 하면

△OAB, 부채꼴OAB, △OAT 의 넓이 사이에  

△OAB 의 넓이 < 부채꼴OAB 의 넓이 < △OAT 의 넓이

인 관계가 성립하므로 다음 부등식을 얻을 수 있습니다.

이때, sinx > 0 이므로 

의 각 변을 sinx 로 나누면

여기서

이므로

함수의 극한의 대소 관계에 의하여

ⓑ

일 때

x<0이므로 x=-t라고 하면

 x→-0일 때, t→+0 이므로

따라서 ⓐ, ⓑ에 의하여 

입니다.■

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 우극한과 좌극한 그리고 극한에 대한 성질

2017/04/02 - [Cyong's Mathmatics] - 함수의 극한 정리

우극한과 좌극한

일반적으로

x가 a보다 큰 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+0

또,

x가 a보다 작은 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지는 것을

기호로 다음과 같이 나타냅니다.

x→a+-0

특히,

x→0+0은 x→+0,

x→0-0은 x→-0

으로 나타냅니다.

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 크면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

α를 x=a에서의 함수 f(x)의 우극한 이라고 하며

기호로는

라고 나타냅니다.

또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 작으면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 β에 한없이 가까워지면

β를 x=a에서의 함수 f(x)의 좌극한 이라고 하며

기호로는

라고 나타냅니다.

x→a일 때, 함수 f(x)의 극한값이 α라는 것은

x=a에서의 우극한과 좌극한이 존재하고

그 값이 모두 α와 같음을 뜻합니다.

즉,

따라서

우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면 

는 존재하지 않습니다.

함수의 극한에 관한 성질

함수의 극한에 대한 성질은 x→a+0, x→a-0, x→∞, x→-∞  일 때에도 성립

함수의 극한의 대소 관계

함수

에서 x=1 이면 분모가 0이 되므로

x=1의 함숫값 f(1)은 정의되지 않습니다.

하지만 x≠1이면

이므로

x가 1이 아닌 값을 가지면서 1에 한없이 가까워지면

함숫값 f(x)는 2에 한없이 가까워집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서

x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때,

f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고,

α를 x→a 일 때의 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라고 하며,

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.

특히

 상수함수 f(x)=c(c는 상수)는

모든 x의 값에 대하여 함수값이 항상 c이므로

a의 값에 관계없이

가 성립합니다.

함수

에서 x의 값이 한없이 커지면

f(x)의 값이 0에 한없이 가까워지고

x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때에도

f(x)의 값은 0에 한없이 가까워집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 한없이 커질 때 

함수값 f(x)가 일정한 값 α에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 α에 수렴한다고 하고

기호로는

또는

x→∞ 일 때, f(x)→α

와 같이 나타냅니다.

또, x의 값이 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가 일정한 값 β에 한없이 가까워지면서

함수 f(x)는 β에 수렴한다고 하고

기호로는

또는

x→-∞ 일 때, f(x)→β

와 같이 나타냅니다.

함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

f(x)의 값은 한없이 커집니다.

마찬가지로, 함수

에서 x의 값이 0에 한없이 가까워지면

g(x)의 값은 음수이고 그 절댓값은 한없이 커집니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 한없이 커지면

f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 말하고 

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→∞

와 같이 나타냅니다.

또,

함수 f(x)에서 x의 값이 a에 한없이 가까워질 때

함수값 f(x)가 음수이고 그 절대값이 한없이 커지면

f(x)는 음의 무한대로 발산한다고 말하고 

기호로는

또는

x→a 일 때, f(x)→-∞

와 같이 나타냅니다.

일반적으로 함수 f(x)에서 x의 값이

한없이 커지거나, 음수이면서 그 절대값이 한없이 커질 때,

함수값 f(x)가양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하면 

기호로

와 같이 나타냅니다.